Question

b) Cho các số nguyên a, b thỏa: 3a +5b chia hết cho 31. Chứng tỏ 7a+ 22b chia hết cho 31

Answer 1

3a+5b⋮31

=>7(3a+5b)⋮31

=>21a+35b⋮31

=>21a+66b-31b⋮31

=>21a+66b⋮31

=>3(7a+22b)⋮31

=>7a+22b⋮31

Answer 2

Giả sử \(\)3a + 5b chia hết cho 31
ta có

\(3a+5b=31k\left(\right.k\in\mathbb{Z}\left.\right)\)

Ta có

\(7a+22b=\left(\right.3a+5b\left.\right)\cdot23\)

\(\left(\right.3a+5b\left.\right)\cdot23=69a+115b\)

Mà \(69 a + 115 b\) và \(7 a + 22 b\) chỉ khác nhau một bội của 31 (vì \(69 - 7 = 62 = 31 \cdot 2\), \(115 - 22 = 93 = 31 \cdot 3\))
⇒ Nên chúng có cùng tính chia hết cho 31

Do \(3 a + 5 b\) chia hết cho 31, suy ra \(\) 7a + 22b cũng chia hết cho 31

vậy

7a + 22b chia hết cho 31