Câu 2a.
Không có cặp số nguyên dương nào
Giả sử
x^2 + y^2 = 3^n
Vì vế phải chia hết cho 3 nên
x^2 + y^2 chia hết cho 3
Mà bình phương của một số nguyên khi chia cho 3 chỉ có thể dư 0 hoặc 1
Để tổng chia hết cho 3 thì bắt buộc
x^2 chia hết cho 3 và y^2 chia hết cho 3
Suy ra
3 chia hết x và 3 chia hết y
Đặt
x = 3x1, y = 3y1
Khi đó
x^2 + y^2 = 9(x1^2 + y1^2) = 3^n
nên
x1^2 + y1^2 = 3^(n-2)
Lập luận tương tự, lại suy ra 3 chia hết x1, y1
Quá trình này lặp vô hạn, vô lí vì x, y là số nguyên dương
Vậy không có cặp số nguyên dương nào thỏa mãn
Câu 2b.
Ta sẽ chứng minh
q = p + 2, r = p + 6, s = p + 8
Vì
5 < p < q < r < s < p + 10
và các số nguyên tố lớn hơn 5 đều là số lẻ, nên 4 số nguyên tố đó phải nằm trong 5 số lẻ
p, p+2, p+4, p+6, p+8
Trong ba số
p, p+2, p+4
luôn có một số chia hết cho 3
Mà p, q, r, s đều là số nguyên tố lớn hơn 3, nên số bị loại phải là p+4
Do đó
q = p+2, r = p+6, s = p+8
Khi ấy
p+q+r+s = p + (p+2) + (p+6) + (p+8) = 4p + 16 = 4(p+4)
Lại có
p và p+2 đều không chia hết cho 3
nên
p ≡ 2 mod 3
Trong 4 số
p, p+2, p+6, p+8
không số nào chia hết cho 5
suy ra
p ≡ 1 mod 5
Từ đó
p ≡ 11 mod 15
nên
p + 4 chia hết cho 15
Suy ra
4(p+4) chia hết cho 60
Vậy
p + q + r + s chia hết cho 60
Câu 2c.
Đặt
k = ((a+b)(b+c)(c+a))/abc
Vì
abc chia hết (a+b)(b+c)(c+a)
nên
a chia hết (a+b)(a+c)
Mà
gcd(a, a+b) = gcd(a,b) = 1
gcd(a, a+c) = gcd(a,c) = 1
Suy ra
gcd(a, (a+b)(a+c)) = 1
nên muốn a chia hết tích đó thì mọi ước nguyên tố của a phải chia hết vào b+c
Do đó
a chia hết b+c
Tương tự
b chia hết c+a
c chia hết a+b
Giả sử
a ≥ b ≥ c
Vì
a chia hết b+c
và
b+c ≤ 2b ≤ 2a
nên b+c chỉ có thể bằng a hoặc 2a
Nhưng b+c < 2a, nên
a = b+c
Khi đó
b chia hết c+a = c+b+c = b+2c
nên
b chia hết 2c
Mà
gcd(b,c) = 1
nên
b chia hết 2
Suy ra
b = 1 hoặc b = 2
Trường hợp 1.
b = 1
Vì c ≤ b và c nguyên dương nên
c = 1
suy ra
a = 2
Khi đó
k = ((2+1)(1+1)(1+2))/(2.1.1) = 9
Trường hợp 2.
b = 2
Vì c < b và c nguyên dương lẻ, lại nguyên tố cùng nhau với 2, nên
c = 1
suy ra
a = 3
Khi đó
k = ((3+2)(2+1)(1+3))/(3.2.1) = 10
Ngoài ra trường hợp
a = b = c = 1
thì
k = (2.2.2)/1 = 8
Vậy các giá trị có thể của k là
8, 9, 10
Câu 2d.
Ta có
6n^2 - 17n - 39 = (3n - 13)(2n + 3)
Đặt
A = 3n - 13, B = 2n + 3
Khi đó
m = |AB|
và
2A - 3B = -35
Giả sử
m là lũy thừa của số nguyên tố t, tức là
m = p^h
Nếu cả |A| và |B| đều lớn hơn 1 thì mọi ước nguyên tố của A và B đều là p
Do
2A - 3B = -35
nên p chia hết 35
suy ra
p = 5 hoặc p = 7
Xét p = 5
Khi đó A, B đều là các lũy thừa của 5 theo dấu
Từ
2A - 3B = -35
suy ra điều này không thể xảy ra, vì nếu cả A, B cùng chia hết cho 5 thì sau khi chia 5 sẽ thu được phương trình vô nghiệm theo modulo 5
Xét p = 7
Tương tự, từ
2A - 3B = -35
suy ra chỉ có thể xảy ra
A = -7, B = 7
Khi đó
3n - 13 = -7
suy ra
n = 2
Ngoài ra nếu một trong hai số A, B có trị tuyệt đối bằng 1 thì chỉ có thể
A = -1
suy ra
3n - 13 = -1
nên
n = 4
Vậy chỉ có hai khả năng
n = 2 hoặc n = 4
Khi đó
n = 2 thì n^2 + 1 = 5 là số nguyên tố
n = 4 thì n^2 + 1 = 17 là số nguyên tố
Vậy
p = n^2 + 1 là số nguyên tố
Câu 2e.
Phần này trong ảnh có vẻ bị thiếu điều kiện, vì nếu k chẵn thì mệnh đề không đúng
Ví dụ k = 2, lấy n1 = 1, n2 = 3 thì
n1^2 - n2^2 = 1 - 9 = -8
không lớn hơn hoặc bằng 7
Nếu đề đúng là k lẻ, đặt
k = 2m + 1
Ta có
S = n1^2 - n2^2 + n3^2 - n4^2 + ... + n(2m+1)^2
= n1^2 + (n3^2 - n2^2) + (n5^2 - n4^2) + ... + (n(2m+1)^2 - n(2m)^2)
Vì
n1, n2, ..., n(2m+1)
là các số nguyên dương lẻ tăng dần nên
n1 ≥ 1, n2 ≥ 3, n3 ≥ 5, ...
n(2i) ≥ 4i - 1, n(2i+1) ≥ 4i + 1
Do đó
n(2i+1)^2 - n(2i)^2
= (n(2i+1) - n(2i))(n(2i+1) + n(2i))
≥ 2[(4i+1) + (4i-1)]
= 16i
Suy ra
S ≥ 1 + 16(1 + 2 + ... + m)
= 1 + 16.m(m+1)/2
= 1 + 8m(m+1)
= 2(2m+1)^2 - 1
= 2k^2 - 1
Vậy nếu k lẻ thì
n1^2 - n2^2 + n3^2 - ... + nk^2 ≥ 2k^2 - 1
Câu 2f.
Giải phương trình
(x^2 + y)(y^2 + x) = (x+1)(y+1)
Ta xét các trường hợp
Nếu
x ≥ 2, y ≥ 0
thì
x^2 + y - (x+1) = x(x-1) + y - 1 ≥ 1
và
y^2 + x - (y+1) = y(y-1) + x - 1 ≥ 1
Suy ra
(x^2 + y)(y^2 + x) > (x+1)(y+1)
vô lí
Tương tự, nếu
y ≥ 2, x ≥ 0
cũng vô lí
Nếu
x ≥ 2, y ≤ -2
Khi đó
(x+1)(y+1) < 0
Nếu
x^2 + y ≥ 0
thì vế trái không âm, vô lí
Nếu
x^2 + y < 0
đặt
z = -y
thì
z > x^2
Ta có
|vế trái| = (z - x^2)(z^2 + x) ≥ z^2 + x
còn
|vế phải| = (x+1)(z-1)
Vì
z > x^2 ≥ 4
nên
z^2 + x > (x+1)(z-1)
Suy ra
|vế trái| > |vế phải|
vô lí
Do tính đối xứng, trường hợp
y ≥ 2, x ≤ -2
cũng vô lí
Vậy chỉ còn phải xét
x, y thuộc {-1, 0, 1}
Thử từng giá trị
x = -1
thì
(1+y)(y^2-1) = 0
suy ra
y = -1 hoặc y = 1
x = 0
thì
y.y^2 = y+1
tức là
y^3 = y+1
không có nghiệm nguyên
x = 1
thì
(y+1)(y^2+1) = 2(y+1)
suy ra
y = -1 hoặc y = 1
Vậy các cặp số nguyên nghiệm là
(-1,-1), (-1,1), (1,-1), (1,1)
giúp e với mng ơi. e cảm ơn 
