Câu 1
Giả sử \(\sqrt{7}\) là số hữu tỉ => \(\sqrt{7}=\frac{a}{b}\) với a/b là phân số tối giản và a,b\(\in Z,b\ne0\)
\(\frac{a}{b}=\sqrt{7}\Rightarrow\frac{a^2}{b^2}=7\Rightarrow a^2=7b^2\)=> a2 chia hết cho 7
mà 7 là số nguyên tố nên a=7m => (7m)2=7b2 => 49m2=7b2 => 7m2=b2 => b2 chia hết cho 7
=> b chia hết cho 7
Do đó a và b vẫn có ước chung là 7 suy ra phân số a/b chưa tối giản trái với giả thiết đưa ra
=>\(\sqrt{7}\) là số vô tỉ
Câu 2:
a)\(\left(ac+bd\right)^2+\left(ad-bc\right)^2=a^2c^2+2abcd+b^2d^2+a^2d^2-2abcd+b^2c^2\)
\(=a^2c^2+b^2d^2+a^2d^2+b^2c^2=a^2\left(c^2+d^2\right)+b^2\left(d^2+c^2\right)=\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\)
ta có đpcm
b) \(\left(ac+bd\right)^2\le\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\Leftrightarrow a^2c^2+2abcd+b^2d^2\le a^2c^2+b^2c^2+a^2d^2+b^2d^2\)
<=>\(a^2c^2+2abcd+b^2d^2-a^2c^2-b^2c^2-a^2d^2-b^2d^2\le0\Leftrightarrow2abcd-b^2c^2-a^2d^2\le0\)
<=>\(-\left(a^2d^2-2abcd+b^2c^2\right)\le0\Leftrightarrow-\left(ad-bc\right)^2\le0\) luôn đúng!
Câu 3: Áp dụng bđt Bunhiacopxki ta được: \(\left(x.1+y.1\right)^2\le\left(x^2+y^2\right)\left(1^2+1^2\right)\)
<=>\(\left(x+y\right)^2\le2\left(x^2+y^2\right)\Leftrightarrow2^2\le2\left(x^2+y^2\right)\Leftrightarrow2\le x^2+y^2=S\)
=>minS=2 <=> x=y=1
Câu 1:
\(\text{Tạm coi: }\sqrt{7}\text{ là số vô tỉ }\)
\(\Rightarrow\sqrt{7}=\frac{a}{b}\left(a,b\inℤ;b\ne0\right)\)
Ko tính tổng quát, tạm coi: (a; b) = 1
\(\Rightarrow7=\frac{a^2}{b^2}\)
\(\Leftrightarrow a^2=\frac{b}{7^2}\)
\(\Rightarrow a^2⋮7\)
7 là số nguyên tố
\(\Rightarrow a⋮7\)
\(\Rightarrow a^2⋮49\)
\(\Rightarrow7b^2⋮49\)
\(\Rightarrow b^2⋮7\)
\(\Rightarrow b⋮7\)
\(\Rightarrow\left(a;b\right)\ne1\left(\text{trái với giả sử}\right)\left(\text{gỉa sử ko chính xác}\right)\)
\(\Rightarrow\sqrt{7}\text{là số vô tỉ}\)
Câu 2:
a) Ta có: \(\left(ac+bd\right)^2+\left(ad-bc\right)^2\)
\(=\left(ac\right)^2+2abcd+\left(bd\right)^2+\left(ad\right)^2-2adbc+\left(bc\right)^2\)
\(=\left(ac\right)^2+\left(bd\right)^2+\left(ad\right)^2+\left(bc\right)^2\)
\(=\left[\left(ac\right)^2+\left(ad\right)^2\right]+\left[\left(bd\right)^2+\left(bc\right)^2\right]\)
\(=a^2\left(c^2+d^2\right)+b^2\left(c^2+d^2\right)\)
\(=\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\left(đ\text{pcm}\right)\)
b) Ta có: \(\left(ac+bd\right)^2\le\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2c^2+b^2d^2+2abcd\le a^2c^2+b^2d^2+b^2c^2+b^2d^2\)
\(\Leftrightarrow2abcd\le a^2d^2+b^2c^2\)
\(\Leftrightarrow0\le a^2d^2+b^2c^2-2abcd\)
\(\Leftrightarrow0\le\left(ad-bc\right)^2\left(\text{tmyc}\right)\)
\("="\Leftrightarrow ad-bc=0\Rightarrow ab=bc\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\left(đ\text{pcm}\right)\)
Câu 3:
\(x-y=2\Leftrightarrow x=y+2\)
Thay P, ta được:
\(P=\left(y+2\right)^2+y^2-\left(x+y\right)y\)
\(P=y^2+2y+4\)
\(P=\left(y+1\right)^2+3\)
\(P\ge3\)
\("="\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y=-1\\x=1\end{cases}}\Rightarrow A_{\text{MIN}}=3\)