Question

a+b+c=3.Tìm giá trị lớn nhất của p=\(\sqrt{\left(a+b\right)}\)+\(\sqrt{\left(b+c\right)}\)+\(\sqrt{\left(a+c\right)}\)

Answer 1

- Bổ sung điều kiện: \(a,b,c>0\)

Ta chứng minh bất đẳng thức:

\(\left(a+b+c\right)^2\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)\) (bạn tự chứng minh bằng phép biến đổi tương đương)

Áp dụng bất đẳng thức trên ta có:

\(P=\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\right)^2\)

\(\le3\left[\left(\sqrt{a+b}\right)^2+\left(\sqrt{b+c}\right)^2+\left(\sqrt{c+a}\right)^2\right]\)

\(=6\left(a+b+c\right)=6.3=18\)

\(\Rightarrow P\le\sqrt{18}=3\sqrt{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1.

Vậy \(MinP=\sqrt{18}\)