\(\dfrac{5a+c}{b+c}+\dfrac{6b}{c+a}+\dfrac{5c+a}{a+b}\ge9\)
\(\Leftrightarrow\left(a+c\right)\left(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{b+a}\right)+\dfrac{4a}{b+c}+\dfrac{4c}{a+b}+\dfrac{6b}{c+a}\ge9\)
Áp dụng bất đẳng thức C-B-S dạng phân thức, ta có:
\(\left(a+c\right)\left(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{b+a}\right)\ge\dfrac{4\left(a+c\right)}{a+c+2b}=4\left(1-\dfrac{2b}{a+c+2b}\right)=4-\dfrac{8b}{a+c+2b}\ge4-\dfrac{1}{4}.8b\left(\dfrac{1}{a+c}+\dfrac{1}{2b}\right)=3-\dfrac{2b}{a+c}\)
Vậy ta cần chứng minh: \(\dfrac{4a}{b+c}+\dfrac{4c}{a+b}+\dfrac{6b}{c+a}+3-\dfrac{2b}{a+c}\ge9\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\ge\dfrac{3}{2}\)
Dễ thấy bất đẳng thức cuối cùng là bất đẳng thức Nesbitt nên ta có điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi a=b=c.
