Ta có \(4=2+\sqrt{n}+2-\sqrt{n}=\left(\sqrt[3]{2+\sqrt{n}}\right)^3+\left(\sqrt[3]{2-\sqrt{n}}\right)^3\)
ĐẶT \(a=\sqrt[3]{2+\sqrt{n}},b=\sqrt[3]{2-\sqrt{n}}\)ta có \(4=a^3+b^{^{ }3}=\left(a+b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\)
DO \(a+b\in N\)nên \(a+b\in\text{Ư}\left(4\right)\)suy ra \(a+b=\left\{1,2,4\right\}\)và \(a^3+b^3=4\)
Giải lần lượt từng trường hợp ta thấy ứng với trường hợp \(a+b=1\)là thoả mãn khi tìm ra n = 5.
Suy ra: S3=4+3.S.\(\sqrt[3]{4-n}\)
\(\Rightarrow\sqrt[3]{4-n}\in Z,\sqrt[3]{4-n}>-2\)
mà \(n\in N^{\cdot}\)
suy ra \(n=5;4;3\)
Ta thấy n=5 thỏa mãn.
