Ta chứng minh BĐT: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) bằng biến đổi tương đương.
\(\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}=\frac{1}{c}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge\frac{1}{c}.\frac{4}{a+b}=\frac{4}{c\left(a+b\right)}\)
Áp dụng BĐT \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\) ta được:
\(c\left(a+b\right)\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{4}=\frac{4^2}{4}=4\Leftrightarrow\frac{4}{c\left(a+b\right)}\ge\frac{4}{4}=1\)
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Sử dụng bđt cauchy dạng 1/x+1/y >/ 4/(x+y)
ta đc VT >/ 4/(ac+bc)=4/c(a+b)=4/c(4-c) (do a+b+c=4)
Sử dụng bdt cauchy dạng xy </ (x+y)^2/4 ta có c(4-c) </ (c+4-c)^2/4=4
=>VT >/ 4/4=1
Mình gợi ý nhé. Dùng BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) và\(c\left(a+b\right)\le\frac{\left(c+a+b\right)^2}{4}=\frac{4^2}{4}=4\Leftrightarrow\frac{4}{c\left(a+b\right)}\ge\frac{4}{4}=1\)
