Áp dụng BĐT AM - GM cho các cặp số không âm, ta được:
\(a^2+b^2\ge2ab\)(1)
\(a^2+1\ge2a\)(2)
\(b^2+1\ge2b\)(3)
Cộng theo vế của 3 BĐT (1), (2), (3), ta được:
\(2\left(a^2+b^2+1\right)\ge2\left(ab+a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+1\ge ab+a+b\left(q.e.d\right)\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = 1
\(a^2+b^2+1\ge ab+a+b\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2\ge2ab+2a+2b\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2\ge0\) ( đúng )
=> đpcm
