Question

a, Tìm x;y thuộc Z sao cho 3xy+x+2y=0

b, Chứng minh rằng với mọi n thuộc N thì 10ⁿ+45n-1 chia hết cho 27

Answer 1

a) 3xy + x + 2y = 0

=> x.(3y + 1) = -2y

=> \(x=\frac{-2y}{3y+1}\)

Mà x nguyên => -2y chia hết cho 3y + 1

=> 2y chia hết cho 3y + 1

=> 6y chia hết cho 3y + 1

=> 6y + 2 - 2 chia hết cho 3y + 1

=> 2.(3y + 1) - 2 chia hết cho 3y + 1

Do 2.(3y + 1) chia hết cho 3y + 1 => 2 chia hết cho 3y + 1

=> \(3y+1\in\left\{1;-1;2;-2\right\}\)

Mà 3y + 1 chia 3 dư 1 => 3y + 1 \(\in\left\{1;-2\right\}\)

+ Với 3y + 1 = 1 thì 3y = 0 => y = 0

=> \(x=\frac{-2.0}{3.0+1}=\frac{0}{1}=0\)

+ Với 3y + 1 = -2 thì 3y = -3 => y = -1

=> \(x=\frac{-2.\left(-1\right)}{3.\left(-1\right)+1}=\frac{2}{-3+1}=\frac{2}{-2}=-1\)

Vậy các cặp giá trị (x;y) thỏa mãn đề bài là: (0;0) ; (-1;-1)

b) Ta có: 

10ⁿ + 45n - 1

= 10ⁿ - 1 - 9n + 54n

= 999...9 - 9n + 54n

  (n c/s 9)

= 9.(111...1 - n) + 54n

     (n c/s 1)

Vì 1 số và tổng các chữ số của nó có cùng số dư trong phép chia cho 9 mà tổng các chữ số 111...1 là n

                                                                                                                                       (n c/s 1)

=> 111...1 - n chia hết cho 3

    (n c/s 1)

=> 9.(111...1 - n) chia hết cho 27; 54n chia hết cho 27

      (n c/s 1)

=> 10ⁿ + 45n - 1 chia hết cho 27 (đpcm)