a)\(\frac{a}{b}\)<\(\frac{a+c}{b+c}\)<=>a(b+c)<b(a+c)<=>ab+ac<ac+bc<=>ac<bc<=>a<b(đúng theo giả thiết)
Vậy:\(\frac{a}{b}\)<\(\frac{a+c}{b+c}\)
b) (a+b)(\(\frac{1}{a}\)+\(\frac{1}{b}\))=\(\frac{a+b}{a}\)+\(\frac{a+b}{b}\)=1+\(\frac{b}{a}\)+1+\(\frac{a}{b}\)
Giả sử a<b, ta đặt b=a+k(k>0)
Khi đó (a+b)(\(\frac{1}{a}\)+\(\frac{1}{b}\))=2+\(\frac{a+k}{a}\)+\(\frac{a}{b}\)=3+\(\frac{k}{a}\)+\(\frac{a}{b}\)=3+\(\frac{bk+a^2}{ab}\)=3+\(\frac{ak+k^2+a^2}{ab}\)=3+\(\frac{a\left(a+k\right)+k^2}{ab}\)=3+\(\frac{ab+k^2}{ab}\)=4+\(\frac{k^2}{ab}\)\(\ge\)4(đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b)
Chứng minh tương tự với a>b
a) mk dùng cm tương đương nha bn
ta có \(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+c}\)
<=> \(\frac{a}{b}-\frac{a+c}{b+c}< 0\)
<=> \(\frac{ab+ac-ab-bc}{b\left(b+c\right)}< 0\)
<=> \(\frac{c\left(a-b\right)}{b\left(b+c\right)}< 0\)
vì b>0; c>0 nên b(b+c) >0
mà a<b suy ra a-b<0
=>. \(\frac{c\left(a-b\right)}{b\left(b+c\right)}< 0\)( luôn đúng )
Vậy \(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+c}\)
b) ta có (\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\))\(\left(a+b\right)\)=1+1+\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\)
mà \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)
<=> \(\frac{a^2+b^2}{ab}\ge2\)
<=> \(a^2+b^2\ge2ab\)
<=> (a-b)2\(\ge\)0 ( luôn đúng) ( dấu = khi a=b)
vậy \(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\left(a+b\right)\ge4\)(luôn đúng ) => đpcm
dấu = xảy ra khi a=b
