Câu này chắc chắn có bạn trả lời được thôi. Dùng đồng dư hoặc hàm euler.
câu a: Mình gợi ý chứng minh M chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9 nên M không là số chính phương.
a, Nguyên lý đirichle cứu với!!!!!!!! | Diễn đàn HOCMAI - Cộng đồng học tập lớn nhất Việt Nam
b, Ta có: \(20^5\equiv1\left(mod11\right)\)
\(\left(20^5\right)^3\equiv1^3\equiv1\left(mod11\right)\)
Tương ứng với \(20^{15}\) : 11 dư 1
=> 2015 - 1 \(⋮\) 11 (đpcm)
c, Có: \(2^{30}\equiv12\left(mod13\right)\);
\(3^{15}\equiv1\left(mod13\right)\)
\(\left(3^{15}\right)^2\equiv1^2\equiv1\left(mod13\right)\)
<=> \(2^{30}+3^{30}\) \(\equiv12+1\equiv13\left(mod13\right)\)
Vì 13 chia hết cho 13 nên 230 + 330 chia hết cho 13 (đpcm)
d, tượng tự b
Lời giải:
a) Dễ thấy \(M\) chẵn nên $M$ chia hết cho $2$
Nếu $M$ là một số chính phương thì khi đó $M$ phải chia hết cho cả $4$
Ta thấy:
\(94^{100}\equiv 0\pmod 4\)
\(1994^{100}\equiv 0\pmod 4\)
\(1+9^{100}\equiv 1+1^{100}\equiv 2\pmod 4\)
Do đó \(M\equiv 2\pmod 4\), tức là $M$ chia hết cho $2$ mà không chia hết cho $4$, nên $M$ không thể là số chính phương.
b) Với \(11\in\mathbb{P}\) và \((20,11)=1\) thì áp dụng định lý Fermat:
\(20^{10}\equiv 1\pmod {11}\)\(\Rightarrow 20^{15}-1\equiv 20^5-1\pmod {11}\)
Ta có \(20\equiv -2\pmod {11}\Rightarrow 20^5-1\equiv (-2)^5-1\equiv -33\equiv 0\pmod {11}\)
Suy ra \(20^{15}-1\equiv 0\pmod {11}\) (đpcm)
c) Áp dụng định lý Fermat nhỏ:
\(\left\{\begin{matrix} 2^{12}\equiv 1\pmod {13}\\ 3^{12}\equiv 1\pmod {13}\end{matrix}\right.\Rightarrow 2^{30}+3^{30}=2^{12.2}.2^6+3^{12.2}.3^6\equiv 2^6+3^6\pmod{13}\)
Mà \(\left\{\begin{matrix} 2^6\equiv -1\pmod {13}\\ 3^6\equiv 1\pmod {13}\end{matrix}\right.\Rightarrow 2^6+3^6\equiv 0\pmod {13}\)
Suy ra \(2^{30}+3^{30}\equiv 0\pmod {13}\)
d) Đây chính là định lý Fermat nhỏ, áp dụng với \(29\in\mathbb{P}\) và \((2,29)=1\) ta có luôn đpcm.
