Lời giải:
a)
Ký hiệu Bội số của 9 là \(\text{BS9}\)
\(10^{2006}+53=(9+1)^{2006}+53\)
\(=\text{BS}9+1+53=\text{BS}9+54=\text{BS9}+9.6=\text{BS9}\)
Do đó: \(10^{2006}+53\vdots 9\Rightarrow \frac{10^{2006}+53}{9}\in\mathbb{N}\)
Ta có đpcm.
b)
Nếu \(n\) lẻ: Đặt \(n=2k+1\)
Khi đó: \(2^{n}+1=2^{2k+1}+1=2.4^k+1=2(3+1)^k+1\)
\(=2(\text{BS3}+1)+1=2.\text{BS3}+3=\text{BS3}\)
Do đó: khi $n$ lẻ \(2^n+1\vdots 3\). Mà \(n>2\Rightarrow 2^n+1>3\), do đó $2^n+1$ không thể là số nguyên tố theo yêu cầu đề bài.
Như vậy $n$ không thể lẻ. Vậy $n$ chẵn.
Đặt \(n=2k\Rightarrow 2^n-1=2^{2k}-1=4^k-1=(3+1)^k-1\)
\(=\text{BS3}+1-1=\text{BS3}\)
\(\Rightarrow 2^n-1\vdots 3; 2^n-1>3\Rightarrow 2^n-1\) là hợp số.
Ta có đpcm.
