Violympic toán 7

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
 nguyễn hà

a, CMR: \(\dfrac{10^{2006}+53}{9}\) là 1 số tự nhiên.

b, cho 2n+1 là số nguyên tố (n>2). c/m 2n -1 là hợp số

Akai Haruma
4 tháng 4 2018 lúc 12:45

Lời giải:

a)

Ký hiệu Bội số của 9 là \(\text{BS9}\)

\(10^{2006}+53=(9+1)^{2006}+53\)

\(=\text{BS}9+1+53=\text{BS}9+54=\text{BS9}+9.6=\text{BS9}\)

Do đó: \(10^{2006}+53\vdots 9\Rightarrow \frac{10^{2006}+53}{9}\in\mathbb{N}\)

Ta có đpcm.

b)

Nếu \(n\) lẻ: Đặt \(n=2k+1\)

Khi đó: \(2^{n}+1=2^{2k+1}+1=2.4^k+1=2(3+1)^k+1\)

\(=2(\text{BS3}+1)+1=2.\text{BS3}+3=\text{BS3}\)

Do đó: khi $n$ lẻ \(2^n+1\vdots 3\). Mà \(n>2\Rightarrow 2^n+1>3\), do đó $2^n+1$ không thể là số nguyên tố theo yêu cầu đề bài.

Như vậy $n$ không thể lẻ. Vậy $n$ chẵn.
Đặt \(n=2k\Rightarrow 2^n-1=2^{2k}-1=4^k-1=(3+1)^k-1\)

\(=\text{BS3}+1-1=\text{BS3}\)

\(\Rightarrow 2^n-1\vdots 3; 2^n-1>3\Rightarrow 2^n-1\) là hợp số.

Ta có đpcm.


Các câu hỏi tương tự
BÍCH THẢO
Xem chi tiết
Trà My Kute
Xem chi tiết
WW
Xem chi tiết
Nguyễn Ngọc Linh
Xem chi tiết
BÍCH THẢO
Xem chi tiết
Trần Phương Nhi
Xem chi tiết
Bảo Đăng
Xem chi tiết
Nguyễn Huy Thành
Xem chi tiết
Trần Khương
Xem chi tiết