a) cho hình bình hành ABCD, M là trung điểm của BC. điểm N trên cạnh CD sao cho CN/ND = 2. gọi gđ của AM,AN với BD là P,Q. CMR : S(APQ) = 1/2 S (AMN)
b) CMR kết luận ở câu a vẫn đúng nếu thay điều kiện " M là trung điểm BC, N trên cạnh CD sao cho CN/ND = 2" bởi điều kiện tổng quát hơn " M trên cạnh BC,N trên cạnh CD sao cho CN/ND = 2. BM/MC "
a) Ta có : \(\frac{S_{APQ}}{S_{AMN}}=\frac{S_{APQ}}{S_{APN}}.\frac{S_{APN}}{S_{AMN}}=\frac{AQ}{AN}.\frac{AP}{AM}\)
Ta cần tính tỉ số \(\frac{AQ}{AN},\frac{AP}{AM}\)
Thật vậy, ta có : \(\frac{AQ}{QN}=\frac{AB}{DN}=3\Rightarrow\frac{AQ}{AQ+QN}=\frac{3}{4}\Rightarrow\frac{AQ}{AN}=\frac{3}{4}\)
\(\frac{AP}{PM}=\frac{AD}{BM}=2\Rightarrow\frac{AP}{AP+PM}=\frac{2}{3}\Rightarrow\frac{AP}{AM}=\frac{2}{3}\)
Do đó : \(\frac{AQ}{AN}.\frac{AP}{AM}=\frac{3}{4}.\frac{2}{3}=\frac{1}{2}\)
Vậy \(S_{APQ}=\frac{1}{2}.S_{AMN}\)
b) Ta có : \(\frac{CN}{ND}=2.\frac{BM}{MC}\)
đặt \(\frac{BM}{MC}=k\)thì \(\frac{CN}{ND}=2k\)
Đặt MC = x thì BM = kx . đặt ND = y thì CN = 2ky
ta có : \(\frac{AP}{PM}=\frac{AD}{BM}=\frac{x+kx}{kx}=\frac{k+1}{k}\Rightarrow\frac{AP}{AP+PM}=\frac{k+1}{2k+1}\)
\(\Rightarrow\frac{AP}{AM}=\frac{k+1}{2k+1}\) ( 1 )
Mặt khác, \(\frac{AQ}{QN}=\frac{AB}{DN}=\frac{2k+1}{1}\Rightarrow\frac{AQ}{AQ+QN}=\frac{2k+1}{2k+2}\Rightarrow\frac{AQ}{AN}=\frac{2k+1}{2k+2}\) ( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra \(\frac{AP}{AM}.\frac{AQ}{AN}=\frac{k+1}{2k+1}.\frac{2k+1}{2k+2}=\frac{1}{2}\)
Vậy \(S_{APQ}=\frac{1}{2}.S_{AMN}\)
