Question

4/ Chứng minh

a) a^3+b^3+c^3-a-b-c chia hết cho 6. Với a,b,c, số nguyên

Answer 1

Ta có: \(a^3-a=a\left(a^2-1\right)=\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\)

Vì \(a\left(a-1\right)\) là tích của hai số tự nhiên liên tiếp=> \(a\left(a-1\right)⋮2\Rightarrow a^3-a⋮2\left(1\right)\)

Mặt khác: \(a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\) là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên trong 3 số có 1 số chia hết cho 3=> \(a^3-a⋮3\left(2\right)\)

Từ (1) (2) kết hợp với \(\left(2,3\right)=1\Rightarrow a^3-a⋮2.3\Leftrightarrow a^3-a⋮6\)

Tương tự: \(b^3-b⋮6,c^3-c⋮6\)

\(\Rightarrow\left(a^3-a\right)+\left(b^3-b\right)+\left(c^3-c\right)=a^3+b^3+c^3-a-b-c⋮6\left(đpcm\right)\)