a, \(A=ab\left(a-b\right)+bc\left(b-c\right)+ca\left(c-a\right)\)
\(=a^2b-ab^2+b^2c-bc^2+ac^2-a^2c\)
\(=\left(a^2b-abc\right)-\left(ab^2-b^2c\right)+\left(ac^2-bc^2\right)-\left(a^2c-abc\right)\)
\(=ab\left(a-c\right)-b^2\left(a-c\right)+c^2\left(a-b\right)-ac\left(a-b\right)\)
\(=b\left(a-b\right)\left(a-c\right)+c\left(c-a\right)\left(a-b\right)\)
\(=b\left(a-b\right)\left(a-c\right)-c\left(a-c\right)\left(a-b\right)\)
\(=\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)\)
b, \(B=a\left(b^2-c^2\right)+b\left(c^2-a^2\right)+c\left(a^2-b^2\right)\)
\(=ab^2-ac^2+bc^2-a^2b+a^2c-b^2c\)
\(=\left(ab^2-abc\right)+\left(abc-ac^2\right)-\left(b^2c-bc^2\right)-\left(a^2b-a^2c\right)\)
\(=ab\left(b-c\right)+ac\left(b-c\right)-bc\left(b-c\right)-a^2\left(b-c\right)\)
\(=\left(ab+ac-bc-a^2\right)\left(b-c\right)\)
\(=\left[\left(ab-bc\right)+\left(ac-a^2\right)\right]\left(b-c\right)\)
\(=\left[b\left(a-c\right)+a\left(c-a\right)\right]\left(b-c\right)\)
\(=\left(b-a\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)\)
c, \(C=\left(a+b+c\right)^3-a^3-b^3-c^3\)
\(=a^3+b^3+c^3+3ab\left(a+b\right)+3ac\left(a+c\right)+3bc\left(b+c\right)+6abc-a^3-b^3-c^3\)
\(=3\left(a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2+2abc\right)\)
\(=3\left[ab\left(a+b\right)+bc\left(a+b\right)+c^2\left(a+b\right)+ac\left(a+b\right)\right]\)
\(=3\left(a+b\right)\left(ab+bc+c^2+ac\right)\)
\(=3\left(a+b\right)\left[b\left(a+c\right)+c\left(a+c\right)\right]=3\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)\)
