Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a)4x
4 + 4x3 − x2 − x
b)1− 2a + 2bc + a 2 − b2 − c2
c)(x − 7)(x − 5)(x − 4)(x − 2) − 72
Câu 2. Tìm x, biết(x+5)(4-3x)-(3x+2)2+(2x+1)3=(2x-1)(4x2+2x+1)
Câu 3.
a) Cho a, b, c là các số nguyên thỏa mãn a + b + c = 2020 . Chứng minh rằng:
P = (ab + c – 2019)(bc + a – 2019)(ca + b – 2019) là số chính phương.
b) Cho x, y, z là các số tự nhiên thỏa mãn (xy + yz + zx)(x + y + z) = xyz + 2.
Tính giá trị của P = x2019 + y2019 + z2019.
Câu 4.
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức + 2020
b) Cho ba số nguyên a, b, c có tổng chia hết cho 6. Chứng minh rằng
M = (a + b)(b + c)(c + a) – 2abc , chia hết cho 6.
c) Tìm tất cả các số nguyên dương và số nguyên tố thỏa mãn .
Đề này chép có đúng không thế bạn? Chứ mình thấy hơi sai sai.
Câu 1:
a) \(4+4x^3-x^2-x\)
\(=4(1+x^3)-x(x+1)=4(1+x)(x^2-x+1)-x(x+1)\)
\(=(x+1)(4x^2-4x+4-x)=(x+1)(4x^2-5x+4)\)
b)
\(1-2a+2bc+a^2-b^2-c^2=(1-2a+a^2)-(b^2+c^2-2bc)\)
\(=(a-1)^2-(b-c)^2=(a-1-b+c)(a-1+b-c)\)
c)
\((x-7)(x-5)(x-4)(x-2)-72\)
\(=[(x-7)(x-2)][(x-4)(x-5)]-72\)
\(=(x^2-9x+14)(x^2-9x+20)-72\)
\(=a(a+6)-72=a^2+6a-72=a^2-6a+12a-72\) (đặt $x^2-9x+14=a$)
\(=a(a-6)+12(a-6)=(a+12)(a-6)\)
$=(x^2-9x+28)(x^2-9x+8)$
$=(x^2-9x+28)(x-1)(x-8)$
Bạn chú ý lần sau gõ đề bằng công thức toán.
Câu 2:
$(x+5)(4-3x)-(3x+2)^2+(2x+1)^3=(2x-1)(4x^2+2x+1)$
$\Leftrightarrow (-3x^2-11x+20)-(9x^2+12x+4)+8x^3+12x^2+6x+1=(2x)^3-1^3$
$\Leftrightarrow -12x^2-23x+16+8x^3+12x^2+6x+1=8x^3-1$
$\Leftrightarrow -17x+18=0\Rightarrow x=\frac{18}{17}$
Câu 3:
a)
$P=(ab+c-2019)(bc+a-2019)(ca+b-2019)$
$=(ab+c-2020+1)(bc+a-2020+1)(ca+b-2020+1)$
$=(ab+c-a-b-c+1)(bc+a-a-b-c+1)(ca+b-a-b-c+1)$
$=(ab-a-b+1)(bc-b-c+1)(ca-a-c+1)$
$=(a-1)(b-1)(b-1)(c-1)(c-1)(a-1)$
$=[(a-1)(b-1)(c-1)]^2$ là số chính phương (đpcm)
b)
\((xy+yz+xz)(x+y+z)=xyz+2\)
$\Leftrightarrow (xy+yz+xz)(x+y+z)-xyz=2$
$\Leftrightarrow xy(x+y)+yz(y+z)+xz(x+z)+2xyz=2$
$\Leftrightarrow xy(x+y+z)+yz(y+z+x)+xz(x+z)=2$
$\Leftrightarrow (x+y+z)(xy+yz)+xz(x+z)=2$
$\Leftrightarrow y(x+y+z)(x+z)+xz(x+z)=2$
$\Leftrightarrow (x+z)(xy+y^2+yz+xz)=2$
$\Leftrightarrow (x+z)(y+z)(y+x)=2$
Không mất tổng quát giả sử $x\geq y\geq z\Rightarrow x+y\geq x+z\geq y+z$
Do $x,y,z$ là số tự nhiên nên $x+y=2; x+z=y+z=1$
$\Rightarrow z=0; x=y=1$
Vậy $(x,y,z)=(1,1,0)$ và hoán vị.
$\Rightarrow P=2$
Câu 4:
a) Đề thiếu
b)
$a+b+c\vdots 6\Rightarrow a+b+c\vdots 2$
Do đó trong 3 số $a,b,c$ sẽ có 3 số chẵn, hoặc 2 số lẻ 1 số chẵn
Như vậy trong 3 số $a,b,c$ luôn tồn tại ít nhất 1 số chẵn.
$\Rightarrow abc\vdots 2\Rightarrow 3abc\vdots 6$.
Ta có: $M=(a+b)(b+c)(c+a)-2abc$
$=(a+b)(b+c)(c+a)+abc-3abc=(a+b+c)(ab+bc+ac)-3abc$
$a+b+c\vdots 6$
$3abc\vdots 6$ (cmt)
$\Rightarrow M\vdots 6$ (đpcm)
c) Đề thiếu.
