Question

1.Giải pt : \(x^2+\frac{1}{x^2}+y^2+\frac{1}{y^2}=4\)

Answer 1

\(x^2+\frac{1}{x^2}+y^2+\frac{1}{y^2}=4\)

\(\Rightarrow\left(x-2+\frac{1}{x^2}\right)+\left(y^2-2+\frac{1}{y^2}\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(x-\frac{1}{x}\right)^2+\left(y-\frac{1}{y}\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-\frac{1}{x}\right)^2=\left(y-\frac{1}{y}\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow x=y=1=-1\)

Answer 2

Forever Miss You : có cách này nhanh hơn =))

Áp dụng BĐT AM-GM ta có: 

\(x^2+\frac{1}{x^2}+y^2+\frac{1}{y^2}\ge2.\sqrt{\frac{x^2.1}{x^2}}+2.\sqrt{\frac{y^2.1}{y^2}}=2+2=4\)

Mà \(x^2+\frac{1}{x^2}+y^2+\frac{1}{y^2}=4\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^2=\frac{1}{x^2}\\y^2=\frac{1}{y^2}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^4=1\\y^4=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\pm1\\y=\pm1\end{cases}}\)

Vậy \(\hept{\begin{cases}x=\pm1\\y=\pm1\end{cases}}\)

Answer 3

Kudo:còn cách nữa=)

Áp dụng BĐT AM-GM cho 4 số,ta có:

\(VT\ge4\sqrt[4]{x^2.y^2.\frac{1}{x^2}.\frac{1}{y^2}}=4=VP\)

Xét dấu "=" là ra:v