Question

1.Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 5 chữ số khác nhau sao cho trong mỗi số luôn có mặt hai chữ số 1 và 5

2. Cho tam giác ABC cân tại A, Lấy D thuộc AB sao cho AB = 3AD, H là hình chiếu vuông góc của B lên CD, M là trung điểm của HC.
Chứng minh rằng : AM vuông góc với BM

Answer 1

2. Giải:

Lấy P là trung điểm của BC, AP giao CD tại Q. Gọi N là trung điểm BD.

\(\Delta\)BDC có: P và N lần lượt là trung điểm của BC và BD => PN là đường trung bình \(\Delta\)BDC

=> PN // CD Hay PN // DQ.

\(\Delta\)NAP có: D là trung điểm AN (Dễ chứng minh); DQ // PN; Q thuộc AP 

=> Q là trung điểm AP => AQ=PQ.

\(\Delta\)BHC có: P và M lần lượt là trung điểm của BC và CH => PM là đường trung bình \(\Delta\)BHC

=> PM // BH. Mà BH vuông góc HC => PM vuông góc HC (tại M) hay PM vuông góc CQ

\(\Delta\)ABC cân tại A có: P là trung điểm BC => AP  vuông góc BC hay PQ vuông góc CP

Ta có: ^MPQ + ^MPC = ^CPQ = 90⁰ .Mà ^MPC + ^MCP = 90⁰ ( Do \(\Delta\)PMC vuông tại M)

=> ^MPQ = ^MCP => \(\Delta\)PMC ~ \(\Delta\)QMP (g.g) => \(\frac{MP}{MQ}=\frac{PC}{QP}\)

Lại có: AQ=PQ; PC=BP (cmt) => \(\frac{MP}{MQ}=\frac{BP}{AQ}\)

Góc AQM là góc ngoài \(\Delta\)CPQ => ^AQM = ^CPQ + ^C₁ =90⁰ + ^C₁

Góc BPM là góc ngoài \(\Delta\)PMC => ^BPM = ^PMC + ^C₁ = 90⁰ + ^C₁

Suy ra ^AQM = ^BPM

Xét \(\Delta\)MPB và \(\Delta\)MQA: ^BPM = ^AQM; \(\frac{BP}{AQ}=\frac{MP}{MQ}\)(cmt) => \(\Delta\)MPB ~ \(\Delta\)MQA (c.g.c)

=> ^BMP = ^AMQ. Mà ^BMP + ^BMD = 90⁰ (PM vuông góc CD) => ^AMQ + ^BMD = 90⁰

=> ^AMB = 90⁰ => AM vuông góc với BM (đpcm).