1) Một cầu thủ sút bóng bị va vào góc bên phải của cầu môn và dội ngược trở lại. Biết cầu môn cao 2,44 m và khoảng cách từ vị trí sút bóng đến chân cầu môn là 25m. Tính góc tạo bởi đường đi của bóng so với mặt đất ( số đo góc làm tròn đến phút). 2) Cho đg tròn (O;R) và điểm M nằm ngoài đg tròn. Vẽ các tiếp tuyến MA,MB vs đg tròn (A;B là các tiếp điểm) và cát tuyến MCD ko qua tâm O ( điểm C nằm giữa M và D, tia MC nằm giữa 2 tia MA và MO). Gọi I là trung điểm của CD. a) Cm tứ giác AMBI nội tiếp đg tròn b) Đg thẳng qua C vuông góc vs OA cắt AB, AD lần lượt ở N và K. Cm tứ giác BCNI nội tiếp và N là trung điểm của CK. c) Gọi Q là giao điểm của AB và MD. CM QC.MD=QD.MC
1.
Gọi góc tạo bởi đường đi của bóng so với mặt đất là \(\alpha\)
\(tan\alpha=\dfrac{2,44}{25}\Rightarrow\alpha\approx5^034'\)
2.
a.
Do I là trung điểm CD \(\Rightarrow OI\perp CD\Rightarrow\widehat{OIM}=90^0\)
OA là tiếp tuyến tại A \(\Rightarrow OA\perp AM\Rightarrow\widehat{OAM}=90^0\)
OB là tiếp tuyến tại B \(\Rightarrow OB\perp BM\Rightarrow\widehat{OBM}=90^0\)
A, B, I cùng nhìn OM dưới 1 góc vuông nên O, A, B, M, I cùng thuộc đường tròn đường kính OM
Hay AMBI nội tiếp
b.
Ta có \(CN||AM\) (cùng vuông góc OA)
\(\Rightarrow\widehat{ICN}=\widehat{IMA}\) (đồng vị)
Mà AMBI nội tiếp (theo cmt) \(\Rightarrow\widehat{IMA}=\widehat{IBN}\) (cùng chắn IA)
\(\Rightarrow\widehat{ICN}=\widehat{IBN}\)
\(\Rightarrow BCNI\) nội tiếp
\(\Rightarrow\widehat{CIN}=\widehat{CBN}\) (cùng chắn CN)
Mà \(\widehat{CBN}=\widehat{CDA}\) (cùng chắn CA của (O))
\(\Rightarrow\widehat{CIN}=\widehat{CDA}\)
\(\Rightarrow IN\) song song DA (hai góc đồng vị bằng nhau)
Lại có I là trung điểm CD \(\Rightarrow IN\) là đường trung bình tam giác CDK
\(\Rightarrow N\) là trung điểm CK
Câu c hơi dài làm sau 1 xíu
c.
Đẳng thức cần chứng minh tương đương:
\(\left(IC-QI\right)\left(IM+ID\right)=\left(QI+ID\right)\left(IM-IC\right)\)
\(\Leftrightarrow IC.IM+IC.ID-QI.IM-QI.ID=QI.IM-QI.IC+ID.IM-ID.IC\)
\(\Leftrightarrow\left(ID-IC\right).IM+QI\left(IC-ID\right)+2IC.ID=2QI.IM\)
\(\Leftrightarrow IC.ID=QI.IM\) (do \(ID=IC\) nên \(IC-ID=0\))
Thật vậy, ta có:
CN song song AM (cùng vuông OA) \(\Rightarrow\dfrac{QN}{NA}=\dfrac{QC}{CM}\)
IN song song AD (cm câu b) \(\Rightarrow\dfrac{QN}{NA}=\dfrac{QI}{ID}\)
\(\Rightarrow\dfrac{QC}{CM}=\dfrac{QI}{ID}=\dfrac{QC+QI}{CM+ID}=\dfrac{IC}{CM+IC}=\dfrac{IC}{IM}\)
\(\Rightarrow QI.IM=ID.IC\) (đpcm)
