1 cho các số thực a,b tn \(a^2+ab+b^2=3\)
tìm GTNN,GTLN của \(M=a^4-ab+b^4\)
2 cho các số dương a,b,c tm \(a+b+c=2019\) tìm GTNN \(M=\sqrt{2a^2+ab+2b^2}+\sqrt{2b^2+bc+2c^2}+\sqrt{2c^2+ca+2a^2}\)
3cho các số thực tm \(x+y+z\le1\)tìm GTNN \(P=\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{2020}{xy+yz+xz}\)
4cho các số \(a,b,c>\frac{25}{4}\) tìm GTNN \(Q=\frac{a}{2\sqrt{b}-5}+\frac{b}{2\sqrt{c}-5}+\frac{c}{2\sqrt{a}-5}\)
5cho x,y>0 tm \(x+y=4\) tìm GTNN \(P=\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}\)
\(\sqrt{2a^2+ab+2b^2}=\sqrt{\frac{5}{4}\left(a+b\right)^2+\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2}\ge\frac{5}{4}\left(a+b\right)\)
Tương tự cộng vế theo vế thì
\(M\ge\frac{5}{4}\left(2a+2b+2c\right)=\frac{5}{2}\left(a+b+c\right)=\frac{5}{2}\cdot2019\)
Dấu "=" xảy ra tại \(a=b=c=\frac{2019}{3}\)
bài 4 có trên mạng nha chị.tí e làm cách khác
bài 5 chị tham khảo bđt min cop ski r dùng svác là ra ạ.giờ e coi đá bóng,coi xong nghĩ tiếp ạ.
e nhầm đoạn này r
\(\sqrt{2a^2+ab+2b^2}\ge\frac{\sqrt{5}}{2}\left(a+b\right)\) rồi cộng lại thì
\(M\ge\frac{\sqrt{5}}{2}\left(2a+2b+2c\right)=\sqrt{5}\cdot2019\) ạ
Chắc lần này sẽ không nhầm nhưng hướng là thế ạ.
Bài 5 cần gì dùng Mincopxki chi cho mệt nhỉ?
\(\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)\left[2^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2\right]\ge\left(2x+\frac{1}{2x}\right)^2\)
Do đó: \(\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}\ge\frac{2x+\frac{1}{2x}}{\sqrt{2^2+\frac{1}{2^2}}}=\frac{4x+\frac{1}{x}}{\sqrt{17}}\)
Tương tự rồi cộng lại rồi dùng Cauchy-Schwarz
3/ \(P=\left(\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{1}{xy+yz+zx}+\frac{1}{xy+yz+zx}\right)+\frac{2018}{xy+yz+zx}\)
\(\ge\frac{9}{x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)}+\frac{2018}{\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}\)
\(=\frac{9}{\left(x+y+z\right)^2}+\frac{6054}{\left(x+y+z\right)^2}\ge6063\)
*Tìm min:
\(M=\frac{\left(a^2+b^2-2\right)^2}{2}+\frac{1}{2}\left(a-b\right)^2\left[\left(a+b\right)^2+2\right]+a^2+ab+b^2-2\)
\(\ge a^2+ab+b^2-2=1\)
Đẳng thức xảy ra khi ...
Max em chịu:(
Bai 4
\(Q=\frac{a}{2\sqrt{b}-5}+\frac{b}{2\sqrt{c}-5}+\frac{c}{2\sqrt{a}-5}\)
\(\ge\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2}{2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)-15}\)
Đặt \(2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)-15=x\Rightarrow\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2=\left(\frac{x+15}{2}\right)^2\)
Khi đó \(Q\ge\frac{\left(x+15\right)^2}{4x}=\frac{x^2+30x+225}{4x}=\frac{x}{4}+\frac{225}{4x}+\frac{15}{2}\)
\(\ge2\sqrt{\frac{x}{4}\cdot\frac{225}{4x}}+\frac{15}{2}=15\)
Dấu "=" xảy ra tại \(a=b=c=25\)
tiện tay em làm luôn bài 5
Áp dụng BĐT phụ
\(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}\ge\sqrt{\left(a+c\right)^2+\left(b+d\right)^2}\) tự chứng minh nha chị ( bình phương lên 2 lần ạ )
Ta có:
\(P=\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}\)
\(\ge\sqrt{\left(x+y\right)^2+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2}\)
\(\ge\sqrt{\left(x+y\right)^2+\frac{16}{\left(x+y\right)^2}}=\sqrt{17}\)
Dấu "=" xảy ra tại \(x=y=2\)
Nếu trình bày thì bài mik đẹp hơn bài bạn nhưng lại dài hơn:v
