Question

(0,5 điểm)

Cho 2 số thực $x, y$ thỏa mãn: $0 \leq x \leq 6 ;\, 8 \leq y \leq 15$ và $x+y=15$. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=x^2-x y+y^2$.

Answer 1

\(P=x^2-x\left(15-x\right)+\left(15-x\right)^2=3x^2-45x+225\)

\(P=3x\left(x-9\right)+225\)

Do \(0\le x\le6\Rightarrow x-9< 0\Rightarrow3x\left(x-9\right)\le0\)

\(\Rightarrow P\le225\)

\(P_{max}=225\) khi \(\left(x;y\right)=\left(0;15\right)\)

\(P=3x^2-45x+162+63=3\left(9-x\right)\left(6-x\right)+63\)

Do \(x\le6\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}9-x>0\\6-x\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow3\left(9-x\right)\left(6-x\right)\ge0\)

\(\Rightarrow P\ge63\)

\(P_{min}=63\) khi \(\left(x;y\right)=\left(6;9\right)\)