Question

(04/10) Bài này khá hay

Cho \(\Delta ABC\), điểm O bất kì nằm trong tam giác. \(AO,BO,CO\)lần lượt cắt \(BC,CA,AB\)tại \(D,E,F\). Chứng minh rằng:

a) \(\frac{OD}{AD}+\frac{OE}{BE}+\frac{OF}{CF}=1\)

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của \(\left(1+\frac{AD}{OD}\right)\left(1+\frac{BE}{OE}\right)\left(1+\frac{CF}{OF}\right)\)

Answer 1

a) 

Ta có: \(\frac{OD}{AD}=\frac{S_{BOC}}{S_{ABC}};\frac{OE}{BE}=\frac{S_{AOC}}{S_{ABC}};\frac{OF}{CF}=\frac{S_{AOB}}{S_{ABC}}\)\(\Rightarrow\frac{OD}{AD}+\frac{OE}{BE}+\frac{OF}{CF}=\frac{S_{BOC}+S_{AOC}+S_{AOB}}{S_{ABC}}\)

\(\Rightarrow\frac{OD}{AD}+\frac{OE}{BE}+\frac{OF}{CF}=\frac{S_{ABC}}{S_{ABC}}=1\left(ĐPCM\right)\)

b) chịu

Answer 2

b) Gợi ý nhỏ: Min=64

Answer 3

a) Ta có: \(\frac{OD}{AD}=\frac{S_{BOD}}{S_{ABD}}=\frac{S_{DOC}}{S_{ACD}}=\frac{S_{BOD}+S_{BOC}}{S_{ABD}+S_{ACD}}=\frac{S_{BOC}}{S_{ABC}}\)

Tương tự ta có: \(\frac{OE}{BE}=\frac{S_{AOC}}{S_{ABC}};\frac{OF}{CF}=\frac{S_{AOB}}{S_{ABC}}\)

\(\Rightarrow\frac{OD}{AD}+\frac{OE}{BE}+\frac{OF}{CF}=\frac{S_{BOC}+S_{AOC}+S_{AOB}}{S_{ABC}}=\frac{S_{ABC}}{ S_{ABC}}=1\)(Do O nằm trong tam giác nên \(S_{BOC}+S_{AOC}+S_{AOB}=S_{ABC}\))

b) Ta có: \(\frac{AD}{OD}=\frac{S_{ABC}}{S_{BOC}}\) ;\(\frac{BE}{OE}=\frac{S_{ABC}}{S_{AOC}};\frac{CF}{OF}=\frac{S_{ABC}}{S_{AOB}}\)

Đặt \(S_{BOC}=a;S_{AOC}=b;S_{AOB}=c;S_{ABC}=1\)thì a + b + c = 1

Ta đi tìm giá trị nhỏ nhất của \(\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\left(1+\frac{1}{c}\right)=1+\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)\(+\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)+\frac{1}{abc}\ge1+\frac{9}{a+b+c}+\frac{27}{\left(a+b+c\right)^2}\)\(+\frac{27}{\left(a+b+c\right)^3}=64\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = ¹/₃ hay O là trọng tâm của tam giác ABC