Câu 7: Truyện kể rằng, Aladin nhặt được cây đèn thần, chàng miết tay vào cây đèn và gọi Thần đèn ra. Thần đèn cho chàng 4 điều ước. Aladin ước 3 điều đầu tiên tùy thích, nhưng điều ước thứ 4 của chàng là: "Ước gì ngày mai tôi lại nhặt được cây đèn và Thần cho tôi số điều ước gấp đôi số điều ước ngày hôm nay". Thần đèn chấp thuận và mỗi ngày Aladin đều thực hiện theo quy tắc như trên: ước hết các điều đầu tiên và luôn chừa lại điều ước cuối cùng để kéo dài thỏa thuận với thần đèn cho ngày hôm sau. Sau 11 ngày gặp Thần đèn, Aladin đã ước tất cả bao nhiêu điều ước.
Gọi \(\left(U_{n}\right)\) là số điều nước của Aladin khi đến ngày thứ n
(ĐIều kiện: \(U_{n}\in Z^{+}\) )
Ta có: \(u_1=4\)
\(u_2=4\cdot2=8\)
\(u_3=4\cdot2\cdot2=16\)
...
\(u_{11}=4\cdot2^{10}=2^{12}\) (lần)
Tổng số điều ước Aladin đã có sau 11 ngày là:
\(A=4+8+\cdots+2^{12}\)
\(=2^2+2^3+\cdots+2^{12}\)
=>\(2A=2^3+2^4+\cdots+2^{13}\)
=>\(2A-A=2^3+2^4+\cdots+2^{13}-2^2-2^3-\cdots-2^{12}\)
=>\(A=2^{13}-2^2=8192-4=8188\) (điều ước)
