Question

Bài toán mẫu 2: Cho nửa đường tròn tâm \( O \), đường kính \( AB \). Trên nửa mặt phẳng bờ \( AB \) chứa nửa đường tròn, vẽ tia tiếp tuyến \( Ax \). Lấy \( M \) thuộc tia \( Ax \) (\( M \) khác \( A \)). \( MB \) cắt nửa đường tròn tại \( C \). Kẻ \( OH \) vuông góc với \( BC \) tại \( H \).

a) Chứng minh bốn điểm \( A, O, H, M \) cùng thuộc một đường tròn.

b) Tiếp tuyến tại \( B \) cắt tia \( OH \) tại \( D \). Chứng minh \( OH \cdot OD = \frac{BC^2}{4} \) và \( CD \) là tiếp tuyến của đường tròn \( (O) \).

c) Chứng minh \( OM \) vuông góc với \( AD \).

Answer 1

a: Xét tứ giác AOHM có \(\hat{OAM}+\hat{OHM}=90^0+90^0=180^0\)

nên AOHM là tứ giác nội tiếp

=>A,O,H,M cùng thuộc một đường tròn

b: ΔOBC cân tại O

mà OH là đường cao

nên OH là phân giác của góc BOC và H là trung điểm của BC

H là trung điểm của BC

=>BC=2BH

Xét ΔOBD vuông tại B có BH là đường cao

nên \(HO\cdot HD=HB^2\)

=>\(4\cdot HO\cdot HD=4\cdot HB^2=\left(2\cdot HB\right)^2=BC^2\)

Xét ΔOBD và ΔOCD có

OB=OC

\(\hat{BOD}=\hat{COD}\)

OD chung

Do đó: ΔOBD=ΔOCD

=>\(\hat{OBD}=\hat{OCD}\)

=>\(\hat{OCD}=90^0\)

=>DC là tiếp tuyến của (O)

c: Xét ΔMAB vuông tại A và ΔOBD vuông tại B có

\(\hat{MBA}=\hat{ODB}\left(=90^0-\hat{HOB}\right)\)

Do đó: ΔMAB~ΔOBD

=>\(\frac{AM}{OB}=\frac{AB}{BD}\)

=>\(\frac{AM}{AO}=\frac{AB}{BD}\)

=>\(\frac{AM}{AB}=\frac{AO}{BD}\)

Xét ΔAMO vuông tại A và ΔBAD vuông tại B có

\(\frac{AM}{BA}=\frac{AO}{BD}\)

Do đó: ΔAMO~ΔBAD

=>\(\hat{AMO}=\hat{BAD}\)

mà \(\hat{BAD}+\hat{MAD}=\hat{MAB}=90^0\)

nên \(\hat{EMA}+\hat{EAM}=90^0\)

=>ΔEMA vuông tại E

=>OM⊥DA tại E