a: \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DN}\)
\(=-\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DN}\)
\(=-k\cdot\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+k\cdot\overrightarrow{DC}\)
\(=-k\cdot\overrightarrow{AD}-k\cdot\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}+k\cdot\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AD}\left(1-k\right)-k\cdot\overrightarrow{DB}+k\cdot\overrightarrow{DC}\)
\(=\left(1-k\right)\cdot\overrightarrow{AD}-k\left(\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{DC}\right)=\left(1-k\right)\cdot\overrightarrow{AD}-k\cdot\overrightarrow{CB}\)
\(=\left(1-k\right)\cdot\overrightarrow{AD}+k\cdot\overrightarrow{BC}\)
b: \(\overrightarrow{EI}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MI}\)
\(=-\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MI}=-m\cdot\overrightarrow{AD}+k\cdot\overrightarrow{AB}+m\cdot\overrightarrow{MN}\)
\(=m\left(-\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{MN}\right)+k\cdot\overrightarrow{AB}\)
\(=m\left(-\overrightarrow{AD}+\left(1-k\right)\cdot\overrightarrow{AD}+k\cdot\overrightarrow{BC}\right)+k\cdot\overrightarrow{AB}\)
\(=m\cdot\left(-k\cdot\overrightarrow{AD}+k\cdot\overrightarrow{BC}\right)+k\cdot\overrightarrow{AB}=k\cdot m\left(-\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}\right)+k\cdot\overrightarrow{AB}\)
\(\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}=-\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}\)
\(=-m\cdot\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}+m\cdot\overrightarrow{BC}\)
\(=m\left(-\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}\right)+\overrightarrow{AB}\)
=>\(\frac{\overrightarrow{EI}}{\overrightarrow{EF}}=k\)
=>E,I,F thẳng hàng
