\(\widehat{BAD}=60^0\Rightarrow\) các tam giác ABD và BCD là các tam giác đều
\(\Rightarrow DE\perp BC\) (trung tuyến đồng thời là đường cao)
Mà OF là đường trung bình tam giác BDE \(\Rightarrow OF||DE\Rightarrow OF\perp BC\) (1)
\(SO\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SO\perp BC\) (2)
(1);(2) \(\Rightarrow BC\perp\left(SOF\right)\Rightarrow\left(SBC\right)\perp\left(SOF\right)\)
b. Đường thẳng AO cắt (SBC) tại C, mà \(AC=2OC\Rightarrow d\left(A;\left(SBC\right)\right)=2d\left(O;\left(SBC\right)\right)\)
Trong tam giác SOF, kẻ \(OH\perp SF\Rightarrow OH\perp\left(SBC\right)\Rightarrow OH=d\left(O;\left(SBC\right)\right)\)
\(OF=\dfrac{1}{2}DE=\dfrac{1}{2}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}\)
\(OB=\dfrac{1}{2}BD=\dfrac{a}{2}\Rightarrow SO=\sqrt{SB^2-OB^2}=\dfrac{3a}{4}\)
\(\dfrac{1}{OH^2}=\dfrac{1}{SO^2}+\dfrac{1}{OF^2}\Rightarrow OH=\dfrac{SO.OF}{\sqrt{SO^2+OF^2}}=\dfrac{3a}{8}\)
\(\Rightarrow d\left(A;\left(SBC\right)\right)=2OH=\dfrac{3a}{4}\)
c. Kéo dài FO cắt AD tại M
Trong tam giác SMF, qua M kẻ đường thẳng song song OH cắt SF tại N
\(\Rightarrow MN||OH\) mà \(OH\perp\left(SBC\right)\Rightarrow MN\perp\left(SBC\right)\)
Trong mp (SBC), qua N kẻ đường thẳng song song BC lần lượt cắt SB và SC tại P và Q
\(\Rightarrow\) Hình thang (cân) APQD là thiết diện của chóp và \(\left(\alpha\right)\)
Có AD là giao tuyến của (ABCD) và \(\left(\alpha\right)\), đồng thời \(AD\perp\left(NMF\right)\Rightarrow\widehat{NMF}\) là góc giữa \(\left(\alpha\right)\) và (ABCD)
\(MF=2OF=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\) ; \(MN=2OH=\dfrac{3a}{4}\)
\(\Rightarrow cos\widehat{NMF}=\dfrac{MN}{MF}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow\widehat{NMF}=30^0\)
