\(x^2-\left(2m+1\right)x-m^2+6=0\left(1\right)\)
\(a=1;b=-\left(2m+1\right);c=-m^2+6\)
a) Ta có \(\Delta=b^2-4ac=\left(2m+1\right)^2-4.1.\left(-m^2+6\right)=4m^2+4m+1+4m^2-24\)
\(=8m^2+4m-23\)
Để phương trình (1) có nghiệm thì:
\(\Delta\ge0\Rightarrow8m^2+4m-23\ge0\)
\(\Leftrightarrow8\left(m^2+\dfrac{1}{2}m+\dfrac{1}{16}\right)-\dfrac{47}{2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(m+\dfrac{1}{4}\right)^2\ge\dfrac{47}{16}\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m+\dfrac{1}{4}\ge\dfrac{\sqrt{47}}{4}\\m+\dfrac{1}{4}\le\dfrac{-\sqrt{47}}{4}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m\ge\dfrac{\sqrt{47}-1}{4}\\m\le\dfrac{-\sqrt{47}-1}{4}\end{matrix}\right.\)
b) Theo định lí Viet cho phương trình (1) ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{-\left(2m+1\right)}{1}=2m+1\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{-m^2+6}{1}=-m^2+6\end{matrix}\right.\)
\(x_1^2+x_2^2+5x_1x_2=\left(x_1+x_2\right)^2+3x_1x_2\)
\(=\left(2m+1\right)^2+3\left(-m^2+6\right)=4m^2+4m+1-3m^2+18\)
\(=m^2+4m+19=\left(m+2\right)^2+15\ge15\)
Dấu "=" xảy ra khi \(m+2=0\Leftrightarrow m=-2\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức trên là 15.
c) Ta có: \(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{-1}{2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\dfrac{-1}{2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{2m+1}{-m^2+6}=\dfrac{-1}{2}\)
\(\Rightarrow m^2-6=2\left(2m+1\right)\Leftrightarrow m^2-4m-8=0\)
Giải phương trình trên ta được: \(m=2+2\sqrt{3}\) hay \(m=2-2\sqrt{3}\)
