a: Xét (O) có
DB,DF là các tiếp tuyến
Do đó: DB=DF
=>D nằm trên đường trung trực của BF(1)
Ta có: OB=OF
=>O nằm trên đường trung trực của BF(2)
Từ (1),(2) suy ra DO là đường trung trực của BF
=>DO⊥BF tại H và H là trung điểm của BF
Xét (O) có
ΔCKB nội tiếp
CB là đường kính
Do đó: ΔCKB vuông tại K
=>BK⊥CD tại K
Xét tứ giác BHKD có \(\hat{BHD}=\hat{BKD}=90^0\)
nên BHKD là tứ giác nội tiếp
b: Xét tứ giác OBDF có \(\hat{OBD}+\hat{OFD}=90^0+90^0=180^0\)
nên OBDF là tứ giác nội tiếp
=>\(\hat{BOF}+\hat{BDF}=180^0\)
mà \(\hat{BOF}+\hat{AOF}=180^0\) (hai góc kề bù)
nên \(\hat{AOF}=\hat{ADB}\)
Xét ΔAOF và ΔADB có
\(\hat{AOF}=\hat{ADB}\)
góc OAF chung
Do đó: ΔAOF~ΔADB
=>\(\frac{AO}{AD}=\frac{AF}{AB}\)
=>\(AO\cdot AB=AF\cdot AD\)
c: Xét ΔDBC vuông tại B có BK là đường cao
nên \(DK\cdot DC=DB^2\left(5\right)\)
Xét ΔDBO vuông tại B có BH là đường cao
nên \(DH\cdot DO=DB^2\left(6\right)\)
Từ (5),(6) suy ra \(DK\cdot DC=DH\cdot DO\)
=>\(\frac{DK}{DO}=\frac{DH}{DC}\)
Xét ΔDKH vàΔDOC có
\(\frac{DK}{DO}=\frac{DH}{DC}\)
góc KDH chung
Do đó: ΔDKH~ΔDOC
=>\(\hat{DHK}=\hat{DCO}\)
mà \(\hat{DHK}+\hat{KHO}=180^0\) (hai góc kề bù)
nên \(\hat{KHO}+\hat{KCO}=180^0\)
=>KHOC là tứ giác nội tiếp
