Định nghĩa đạo hàm cấp cao:
Giả sử hàm số y=f(x) có đạo hàm f'(x).
Đạo hàm của hàm số f'(x), nếu có, được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số f(x), kí hiệu là y'' hay f''(x).
Đạo hàm của hàm số f''(x), nếu có, được gọi là đạo hàm cấp ba của hàm số f(x), kí hiệu là y''' hay f'''(x).
Tương tự, đạo hàm của đạo hàm cấp (n-1) được gọi là đạo hàm cấp n của hàm số y = f(x), kí hiệu là y(n) hay f(n)(x).
f(n)(x)=[f(n-1)(x)]′, với n ∈ Z và n \(\ge\) 2.
Các công thức đạo hàm thường gặp:
Đạo hàm của hàm số số không đổi (hằng số) bằng 0.
Với c là hằng số, n là số tự nhiên. Các quy tắc tính đạo hàm như sau:
c′=0.
(xn)′=n.xn-1.
(u1±u2±...±un)′=u′1±u′2±...±u′n.
(uv)′=u′v+uv′.
(cu)′=cu′.
(uvw)′=u′vw+uv′w+uvw′.
(u/v)′=(u′v−uv′)/v2.
Đạo hàm của hàm hợp: Cho y=f(u), u=g(x) thì y=f(g(x)) gọi là hàm hợp.
y′x=y′u.u′x.
Công thức đạo hàm cấp cao:
(xm)(n)=m(m−1)...(m−n+1).xm-n.
(lnx)(n)=\(\dfrac{\left(-1\right)^{n-1}\left(n-1\right)!}{x^n}\).
(ax)(n)=ax.lnna, với a > 0.
(sinx)(n)=sin(x+nπ/2).
(cosx)(n)=cos(x+nπ/2).
(ex)(n)=ex.
(1/x)(n)=(−1)n.n!.x-n-1.
Công thức Lepnit:
Nếu u và v là các hàm khả vi n lần thì: \(\left(uv\right)^{\left(n\right)}=\sum_{k=0}^nC^k_nu^{\left(k\right)}.v^{\left(n-k\right)}\).
với \(C^k_n\) kí hiệu tổ hợp chập k của n phần tử:
\(C^k_n=\dfrac{n!}{k!\left(n-k\right)!}\).
