cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc=8. Chứng minh

\(\frac{a}{ca+4}+\frac{b}{ab+4}+\frac{c}{bc+4}\le\frac{1}{16}\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

Giaỉ hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}+\sqrt{y}=2\\\sqrt{x+15}+\sqrt{y+15}=8\end{matrix}\right.\)

Giaỉ hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}xy^2+4y^2+8=x\left(x+2\right)\\x+y+3=3\sqrt{2y-1}\end{matrix}\right.\)

tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho \(7^n+147\) là số chính phương

Một đơn vị nhận làm 10000 chiếc khẩu trang bao gồm 2 loại: khẩu trang y tế và khẩu trang-3M trong thời gian 20 ngày. Biết rằng mỗi ngày số lượng khẩu trang y tế làm nhiều hơn khẩu trang-3M là 100 chiếc. Hỏi mỗi ngày đơn vị đó làm được bao nhiêu chiếc khẩu trang y tế và khẩu trang-3M (biết rằng năng suất làm việc trong 20 ngày là không đổi)

Cho hai đường tròn (O₁), (O₂) tiếp xúc ngoài tại M. Một đường thẳng cắt đường tròn (O₁) tại hai điểm phân biệt A, B và tiếp xúc với đường tròn (O₂) tại E (B nằm giữa A và E). ĐƯờng thẳng EM cắt đường tròn (O₁) tại điểm J khác M. Gọi C là điểm thuộc cung MJ không chứa A, B của đường tròn (O₁) (C khác M và J ). Kẻ tiêp tuyến CF với đườngtròn (O₂) (F là tiếp điểm) sao cho các đoạn thẳng CF, MJ không cắt nhau. Gọi I là giao điểm của các đường thẳng JC và È, K là giao điểm khác A của đường thẳng AJ và đường tròn (O₁). Chứng minh rằng:

1). Tứ giác MCFI là tứ giác nội tiếp và JA = JI = ..

2) CI là phan giác góc ngoài tại C của tam giác ABC.

3) K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCI

cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn xyz=1 chứng minh rằng \(\frac{x}{\sqrt{x+\sqrt{yz}}}+\frac{y}{\sqrt{y+\sqrt{zx}}}+\frac{z}{\sqrt{z+\sqrt{xy}}}\ge\frac{3}{2}\)

với mọi số thực x chứng minh \(\left(x-2\right)\left(x+3\right)\left(x+4\right)\left(x-6\right)+57x^2>0\)

Tìm tất cả các số tự nhiên x,y,z sao cho \(5^x.7^y+4=3^z\)

Cho x,y,z >0 thỏa mãn điều kiện

\(xy+yz+zx=xyz\). Tìm GTNN của biểu thức P=\(\frac{x}{y^2}+\frac{y}{z^2}+\frac{z}{x^2}+6\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\right)\)