1: Do (a, b) = 19 nên tồn tại x, y sao cho (x, y) = 1 và \(\left\{{}\begin{matrix}a=19x\\b=19y\end{matrix}\right.\).

Suy ra \(95=a+b=19x+19y\Rightarrow x+y=5\).

Mặt khác, do (x, y) = 1 nên \(\left(x,y\right)\in\left\{\left(1;4\right),\left(2;3\right),\left(3;2\right),\left(4;1\right)\right\}\).

Suy ra \(\left(a,b\right)\in\left\{\left(19;76\right),\left(38;57\right),\left(57;38\right),\left(76;19\right)\right\}\).

Mỗi giờ vòi thứ nhất chảy được \(\dfrac{1}{6}\) bể, vòi thứ hai chảy được \(\dfrac{1}{6}\) bể, vòi thứ ba chảy được \(\dfrac{1}{8}\) bể nên cả ba vòi mỗi giờ chảy được \(\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{8}=\dfrac{11}{24}\) (bể)

Do đó số giờ để cả ba vòi chảy đầy bể là: \(\left(1-\dfrac{1}{5}\right):\dfrac{11}{24}=\dfrac{96}{55}\) (giờ)

Gọi số cần tìm là \(\overline{abc}\) (a, b, c là các chữ số; a khác 0).

Theo bài ra ta có \(\overline{a0bc}=7\times\overline{abc}\)

\(\left(1000\times a+\overline{bc}\right)=7\times\left(100\times a+\overline{bc}\right)\)

\(300\times a=6\times\overline{bc}\).

Ta có \(6\times\overline{bc}< 6\times100=600\) nên \(300\times a< 600\). Suy ra a < 2 nên a = 1.

Từ đó \(\overline{bc}\times6=300\) nên \(\overline{bc}=50\).

Số cần tìm là 150.

a) -13 = -6 + (-7)

b) 8 = -6 + 14

Thiếu trung bình cộng của các số đó là \(\dfrac{57996}{18}=3222\)

Có 3 cách chọn chữ số hàng nghìn

Với mỗi cách chọn chữ số hàng chục, có 3 cách chọn chữ số hàng trăm.

Với mỗi cách chọn chữ số hàng trăm, có 2 cách chọn chữ số hàng chục.

Với mỗi các chọn chữ số hàng chục, có 1 cách chọn chữ số hàng đơn vị.

Do đó có tất cả: 3 . 3 . 2 . 1 = 18 (số)

Xét 18 số được tạo thành. Ta thấy mỗi chữ số 2, 3, 4 đều xuất hiện ở hàng nghìn đúng 6 lần, hàng trăm, hàng chục, hàng đơn vị đúng 4 lần.

Do đó tổng các số đã cho là: \(6.\left(2+3+4\right).1000+4.\left(2+3+4\right).\left(100+10+1\right)=57996\).

Áp dụng BĐT Schwarz ta có: \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{y}\ge\dfrac{\left(1+2\right)^2}{x+y}=9\).

Dấu "=" xảy ra khi \(x=\dfrac{1}{3};y=\dfrac{2}{3}\)

Tứ giác AMNQ có 4 đỉnh nằm trên (O) nên nội tiếp. Do đó tứ giác đó nội tiếp.

a) Dễ thấy tứ giác AMNC nội tiếp đường tròn đường kính MN.

b) Ta có tứ giác AMNC nội tiếp nên \(\angle BCM=\angle BAN\). Suy ra \(\Delta BCM\sim\Delta BAN\left(g.g\right)\).

Từ đó \(\dfrac{BM}{BN}=\dfrac{CM}{AN}\).

c) Gọi P' là trung điểm của MC.

Khi đó P' là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMNC.

Ta có \(\widehat{AP'N}=2\widehat{ACN}=180^o-2\widehat{ABC}=180^o-\widehat{MON}\). Suy ra tứ giác AONP' nội tiếp.

Từ đó \(P'\equiv P\). Ta có \(OP=OP'=\dfrac{BC}{2}\) (đường trung bình trong tam giác BMC) không đổi khi M di động trên cạnh AB.