ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}2x+y\ge0\\x-2y+1\ge0\end{matrix}\right.\).

Đặt \(\sqrt{2x+y}=a;\sqrt{x-2y+1}=b\left(a,b\ge0\right)\).

\(HPT\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+2b=5\\3b=b^2+a^2+1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+2b=5\\15b\left(a+2b\right)=25\left(b^2+a^2\right)+\left(a+2b\right)^2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+2b=5\\26a^2-11ab-b^2=0\end{matrix}\right.\).

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+2b=5\\\left(2a-b\right)\left(13a+b\right)=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+2b=5\\2a-b=0\end{matrix}\right.\) (Do 13a + b > 0)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\left(TM\right)\\b=2\left(TM\right)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x+y=1\\x-2y+1=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=-1\end{matrix}\right.\).

Vậy...

Do I là trực tâm của tam giác KAB nên K, I, H thẳng hàng.

Tứ giác AMIH nội tiếp nên \(\widehat{MHI}=\widehat{MAI}\).

Tương tự, \(\widehat{NHI}=\widehat{NBI}\).

Lại có \(\widehat{MAI}=\widehat{NBI}=90^o-\widehat{AKB}\) nên \(\widehat{MHI}=\widehat{NHI}\).

Vậy HK là phân giác của góc MHN.

Như thế này cho dễ hiểu:

Lúc này kim giờ cách kim phút một khoảng bằng \(\dfrac{1}{12}\) vòng đồng hồ.

Mỗi giờ, kim giờ quay được \(\dfrac{1}{12}\) vòng đồng hồ, kim phút quay được 1 vòng đồng hồ. Kim phút quay hơn kim giờ \(1-\dfrac{1}{12}=\dfrac{11}{12}\) vòng đồng hồ.

Ta thấy \(\dfrac{1}{4}\) vòng đồng hồ chính là một góc vuông. Vì kim giờ lúc này đang sau kim phút \(\dfrac{1}{12}\) vòng đồng hồ nên kim phút cần quay hơn kim giờ thêm \(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{12}=\dfrac{1}{6}\) vòng đồng hồ.

Để kim phút quay hơn kim giờ \(\dfrac{1}{6}\) vòng đồng hồ thì mất số giờ là: \(\dfrac{1}{6}:\dfrac{11}{12}=\dfrac{2}{11}\) (giờ), gần bằng 10,9 phút.

Hệ số của x trong khai triển đã cho là: \(1-2+3-4+...+2017-2018=\left(-1\right)+\left(-1\right)+...+\left(-1\right)=-1009\).

Sau mỗi giờ, kim giờ quay được \(30^o\), kim phút quay được \(360^o\) nên kim phút quay nhanh hơn kim giờ \(330^o\).

Lúc 11 giờ, kim phút đứng trước kim giờ \(30^o\). Để kim phút vuông góc với kim giờ thì kim phút phải quay nhanh hơn kim giờ \(60^o\), mất: \(\dfrac{60}{330}=\dfrac{6}{33}\left(h\right)\approx10,9\) (phút)

Áp dụng bđt Cauchy - Schwarz ta có:\(Q=\dfrac{2-2a^2b^2}{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}+\dfrac{2}{\sqrt{1+c^2}}=\dfrac{2\left(1-ab\right)\left(1+ab\right)}{\left(ab+bc+ca+a^2\right)\left(ab+bc+ca+b^2\right)}+\dfrac{2}{\sqrt{1+c^2}}=\dfrac{2\left(bc+ca\right)\left(1+ab\right)}{\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)\left(c+a\right)}+\dfrac{2}{\sqrt{1+c^2}}=\dfrac{2c\left(1+ab\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}=\dfrac{2c\left(1+ab\right)}{\sqrt{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)}}+\dfrac{2}{\sqrt{1+c^2}}\le\dfrac{2c\left(1+ab\right)}{\sqrt{\left(ab+1\right)^2\left(c^2+1\right)}}+\dfrac{2}{\sqrt{1+c^2}}=\dfrac{2c}{\sqrt{c^2+1}}+\dfrac{2}{\sqrt{c^2+1}}=\dfrac{2\left(c+1\right)}{\sqrt{c^2+1}}\le\dfrac{2\left(c+1\right)}{\sqrt{\dfrac{\left(c+1\right)^2}{2}}}=2\sqrt{2}\)Dấu "=" xảy ra khi a = b = \(\sqrt{2}-1;c=1\).

Vậy..

Ta có \(A=\left|x+1\right|+\left|2x-1\right|\ge\left|x+1\right|+\dfrac{1}{2}\left|2x-1\right|=\left|x+1\right|+\left|\dfrac{1}{2}-x\right|\ge x+1+\dfrac{1}{2}-x=\dfrac{3}{2}\).

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=\dfrac{1}{2}\).

Ngày thứ nhất bạn đó đọc được \(180.\dfrac{1}{3}+5=65\) (trang)

Ngày thứ hai bạn ấy đọc được \(65.\dfrac{4}{5}-1=51\) (trang)

Ngày thứ ba bạn ấy đọc được 180 - 65 - 51 = 64 (trang)