Cách 1. Đặt \(\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{4}=k\)

\(\Rightarrow x=2k+1\) ,  \(y=3k+2\), \(z=4k+3\)

Thay vào giả thiết 2x+3y-z=50 được : \(2\left(2k+1\right)+3\left(3k+2\right)-\left(4k+3\right)=50\)

\(\Leftrightarrow9k+5=50\Leftrightarrow9k=45\Leftrightarrow k=5\)

Suy ra : x = 2k+1 = 11

y = 3k+2 = 17

z = 4k+3 = 23

\(x\left(5x-3\right)-x^2\left(x-1\right)+x\left(x^2-6x\right)-10+3x\)

\(=5x^2-3x-x^3+x^2+x^3-6x^2-10+3x=-10\)

24a68b chia hết cho 45 thì nó phải chia hết cho 5, 9

24a68b chia hết cho 5 thì b=0; b= 5

với b= 0 thì 24a680 chia hết cho 9 thì a= 7

với b= 5 thì 24a685 chia hết cho 9 thì a= 2 

vậy a,b thuộc (7;0);(2;5)

Ta có : \(1+2=\frac{2.3}{2}\) , \(1+2+3=\frac{3.4}{2}\) ,

 \(1+2+3+4=\frac{4.5}{2}\) , ......... , \(1+2+3+4+....+2014=\frac{2014.2015}{2}\)

Suy ra : \(A=\frac{2}{2.3}+\frac{2}{3.4}+\frac{2}{4.5}+...+\frac{2}{2014.2015}\)

\(=2\left(\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\frac{1}{4.5}+...+\frac{1}{2014.2015}\right)\)

\(=2\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+...+\frac{1}{2014}-\frac{1}{2015}\right)\)

\(2\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2015}\right)\)

Xét tam giác ADE và tam giác BCF có AD = BC (ABCD là hình bình hành)

Góc BAD = góc BCD , AE = CF = 1/2AB = 1/2CD 

=> tam giác ADE = tam giác BCF (c.g.c)

=> góc AED = góc CFB . Mà AB // CD => góc CFB = góc ABF

=> góc AED = góc ABF mà hai góc này ở vị trí đồng vị

=> DE // BF

Xét tam giác MCD có NF // MD , DF = FC => NF là đường trung bình tam giác MCD

=> MN = NC (1)

Tương tự , ta cũng có ME là đường trung bình của tam giác ANB

=> AM = MN (2)

Từ (1) và (2) suy ra AM = MN = NC (đpcm)

Đặt \(A=\left(x^2-1\right)\left(x^2-9\right)\) , \(t=x^2-5\)

\(\Rightarrow A=\left(t-4\right)\left(t+4\right)=t^2-16\ge-16\)

Suy ra Min A = -16 \(\Leftrightarrow t=0\Leftrightarrow x^2-5=0\Leftrightarrow x=\pm\sqrt{5}\)

Ta có : \(\left(x^2+x\right)^2+4\left(x^2+x\right)=12\)

Đặt \(t=x^2+x\) , pt trở thành \(t^2+4t-12=0\Leftrightarrow\left(t-2\right)\left(t+6\right)=0\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}t=2\\t=-6\end{array}\right.\)

Nếu t = 2 ta có pt : \(x^2+x=2\Leftrightarrow x^2+x-2=0\Leftrightarrow\left(x+2\right)\left(x-1\right)=0\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=-2\\x=1\end{array}\right.\)

Nếu t = -6 , ta có pt : \(x^2+x=-6\Leftrightarrow x^2+x+6=0\Leftrightarrow\left(x^2+x+\frac{1}{4}\right)+\frac{23}{4}=0\Leftrightarrow\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{23}{4}=0\)

mà \(\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{23}{4}\ge\frac{23}{4}>0\) . Dấu đẳng thức không xảy ra nên pt này vô nghiệm.

Vậy tập nghiệm của pt : S={-2;1}

Điều kiện : \(x,y>0,x>y\)

\(\frac{x\sqrt{y}-y\sqrt{x}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=\frac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(x+\sqrt{xy}+y\right)}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=x+\sqrt{xy}+y\)

Ta có : \(A=x+\frac{1}{2}-\left|x-\frac{2}{3}\right|=\left(x-\frac{2}{3}\right)-\left|x-\frac{2}{3}\right|+\frac{7}{6}\)

Đặt \(t= x-\frac{2}{3}\Rightarrow A=t-\left|t\right|+\frac{7}{6}\)

Mặt khác, ta luôn có : \(\left|t\right|\ge t\Rightarrow-\left|t\right|\le-t\Rightarrow t-\left|t\right|\le0\Rightarrow A=t-\left|t\right|+\frac{7}{6}\le\frac{7}{6}\)

Dấu "=" xảy ra khi |t| = t , tức \(x-\frac{2}{3}=\left|x-\frac{2}{3}\right|\Leftrightarrow x=84\)

Vậy Max A = 7/6 <=> x = 84

Ta có : \(P=\frac{bc}{\sqrt{3a+bc}}+\frac{ca}{\sqrt{3b+ca}}+\frac{ab}{\sqrt{3c+ab}}\)

\(=\frac{bc}{\sqrt{a^2+ab+ac+bc}}+\frac{ca}{\sqrt{ab+b^2+bc+ac}}+\frac{ab}{\sqrt{ac+bc+c^2+ab}}\)

\(=\frac{bc}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\frac{ca}{\sqrt{\left(b+a\right)\left(b+c\right)}}+\frac{ab}{\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\)

Áp dụng bdt Cauchy  : \(\frac{bc}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\frac{bc}{2}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)\) ; \(\frac{ac}{\sqrt{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}}\le\frac{ac}{2}\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{b+a}\right)\)

\(\frac{ab}{\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\le\frac{ab}{2}\left(\frac{1}{c+a}+\frac{1}{c+b}\right)\)

Suy ra : \(A\le\frac{1}{2}\left(\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{a+c}+\frac{ac}{b+c}+\frac{ac}{a+b}+\frac{ab}{c+a}+\frac{ab}{b+c}\right)\)

\(\Rightarrow A\le\frac{1}{2}\left(\frac{bc+ac}{a+b}+\frac{bc+ab}{a+c}+\frac{ac+ab}{b+c}\right)=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)=\frac{3}{2}\)

\(A\le\frac{3}{2}\Rightarrow MaxA=\frac{3}{2}\Leftrightarrow a=b=c=1\)