\(\frac{S}{30}+\left(\frac{S}{\frac{3}{30}}+\frac{2S}{\frac{3}{40}}\right)=\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{S}{30}+10S+\frac{80S}{3}=\frac{1}{12}\)

\(\Leftrightarrow S\left(\frac{1}{30}+10+\frac{80}{3}\right)=\frac{1}{12}\)

\(\Leftrightarrow\frac{367S}{10}=\frac{1}{12}\)

\(\Leftrightarrow S=\frac{5}{2202}\)

Đề bài có đúng k bạn? HC = 12 hay HD  = 12 vậy?

\(\frac{5}{x}+\frac{y}{4}=\frac{1}{8}\) (ĐK : \(x\ne0\))

\(\Leftrightarrow\frac{20+xy}{5x}=\frac{1}{8}\)

\(\Leftrightarrow160+8xy=4x\)

\(\Leftrightarrow40=x\left(1-2y\right)\)

Tới đây xét từng trường hợp là ra :)

Từ B kẻ BD vuông góc với BD , cắt CA tại D. 

=> Tam giác BCD vuông tại B có đường trung tuyến AB

=> AB = AC = AD

Ta có : \(\begin{cases}AH\text{//}BD\\AC=AD\end{cases}\) => AH là đường trung bình của tam giác BCD

=> \(AH=\frac{1}{2}BD\Rightarrow AH^2=\frac{BD^2}{4}\Rightarrow BD^2=4AH^2\)

Áp dụng hệ thức về cạnh trong tam giác vuông BDC có : 

\(\frac{1}{BK^2}=\frac{1}{BC^2}+\frac{1}{BD^2}\Leftrightarrow\frac{1}{BK^2}=\frac{1}{BC^2}+\frac{1}{4AH^2}\) 

Ta có : \(a^3+b^3+c^3=3abc\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+2ab-bc-ac\right)-3ab\left(a+b+c\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+b+c}{2}\left[\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ac+a^2\right)\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+b+c}{2}\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}a+b+c=0\\\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\end{array}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}a+b+c=0\\a=b=c\end{array}\right.\)

Cần thêm điều kiện a,b,c,d là các số không âm.

Không mất tính tổng quát, ta giả sử \(a\ge b\ge c\ge d\ge0\)

thì : \(S=ab+bc+cd\le ab+ac+ad=a\left(b+c+d\right)=a\left(1-a\right)\)\(=-a^2+a=-\left(a^2-a+\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{4}=-\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}\le\frac{1}{4}\)

Vậy max S = 1/4 khi , chẳng hạn a = b = 1/2 , c = d =0 

Đặt \(a=3+x\) , \(b=3+y\) (\(x,y\ge0\)) thì \(a+b=\left(x+y\right)+6\)

Ta có : \(a^2+b^2\ge25\Leftrightarrow\left(3+x\right)^2+\left(3+y\right)^2\ge25\Leftrightarrow x^2+y^2+6\left(x+y\right)+18\ge25\)

Ta sẽ chứng minh \(x+y\ge1\) . Thật vậy , giả sử \(0\le x+y< 1\)

\(\Rightarrow x^2+2xy+y^2< 1\Rightarrow x^2+y^2< 1\)

Do đó : \(a^2+b^2=\left(x^2+y^2\right)+6\left(x+y\right)+18< 1+6+18=25\) trái với giả thiết.

Vậy \(x+y\ge1\) \(\Rightarrow a+b\ge7\) (đpcm)

Theo bđt tam giác, ta có : \(\begin{cases}a+b>c\\b+c>a\\a+c>b\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}bc+ac>c^2\\ab+ac>a^2\\ab+bc>b^2\end{cases}\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2< 2\left(ab+bc+ac\right)\) 

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)< a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)< \left(a+b+c\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)< 1\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2< \frac{1}{2}\)

2/ \(\sqrt{\frac{4}{\left(2-\sqrt{3}\right)^2}}+\sqrt{\frac{9}{\left(2+\sqrt{3}\right)^2}}=\frac{2}{2-\sqrt{3}}+\frac{3}{2+\sqrt{3}}\)

\(=\frac{2\left(2+\sqrt{3}\right)+3\left(2-\sqrt{3}\right)}{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}=10-\sqrt{3}\)

a/ \(\sqrt{2}x-\sqrt{98}=0\Leftrightarrow\sqrt{2}x=\sqrt{98}\Leftrightarrow x=7\)

b/ \(\sqrt{2x}=\sqrt{8}\) (ĐKXĐ : \(x\ge0\))

\(\Leftrightarrow2x=8\Leftrightarrow x=4\)

c/ \(\sqrt{5}x^2=\sqrt{20}\Leftrightarrow x^2=4\Leftrightarrow x=\pm2\)

d/ \(2x^2-\sqrt{100}=0\Leftrightarrow2x^2=10\Leftrightarrow x^2=5\Leftrightarrow x=\pm\sqrt{5}\)