Bài 5c.: Tương giao hai đồ thị. Biện luận số nghiệm phương trình.

Câu hỏi trắc nghiệm

Chủ đề: Bài 5c.: Tương giao hai đồ thị. Biện luận số nghiệm phương trình.

Câu 3.

Cho $y=\dfrac{x+1}{2x-1}\quad (C)$. Để $d_m:y=-x+2m$ cắt $(C)$ tại $A,B$ sao cho $AB=\sqrt{2}$ thì

  1. $m=-\dfrac{1}{2}$ hoặc $m=\dfrac{3}{2}$.
  2. $m=\dfrac{1}{3}$ hoặc $m=-\dfrac{3}{2}$.
  3. $m=\dfrac{1}{4}$ hoặc $m=-dfrac{1}{4}$.
  4. $m=\dfrac{1}{5}$ hoặc $m=-\dfrac{1}{5}$.

Hướng dẫn giải:

​Tọa độ giao điểm $A,B$ (nếu có) của $d$ với $(C)$ là nghiệm của hệ:

\(\left\{{}\begin{matrix}\frac{x+1}{2x-1}=-x+2m\\y=-x+2m\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+1=\left(-x+2m\right)\left(2x-1\right)\\x\ne\frac{1}{2}\\y=-x+2m\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x^2-4mx+2m+1=0\\x\ne\frac{1}{2}\\y=-x+2m\end{matrix}\right.\)    (*)

Giả sử hệ trên có hai nghiệm $(x_1,y_1)$ (tương ứng với A) và $(x_2,y_2)$ (tương ứng với B). Khoảng cách $AB$ là:

\(AB=\sqrt{\left(x_1-x_2\right)^2+\left(y_1-y_2\right)^2}\)

Ta có: \(\left(x_1-x_2\right)^2=\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2\)

                         \(=\left(\frac{4m}{2}\right)^2-4.\frac{2m+1}{2}=4m^2-4m-2\)  (Theo định lý Vi-et)

\(\left(y_1-y_2\right)^2=\left[\left(-x_1+2m\right)-\left(-x_2+2m\right)\right]^2\)

             \(=\left(x_2-x_1\right)^2=4m^2-4m-2\)

 

Suy ra \(AB=\sqrt{\left(4m^2-4m-2\right)+\left(4m^2-4m-2\right)}=\sqrt{2\left(4m^2-4m-2\right)}\)

Theo yêu cầu đề bài \(AB=\sqrt{2}\) nên ta phải có:

\(\sqrt{2\left(4m^2-4m-2\right)}=\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow4m^2-4m-2=1\)

\(\Rightarrow4m^2-4m-3=0\)

\(\Rightarrow m=\frac{3}{2}\) hoặc \(m=-\frac{1}{2}\)

Thử lại:

- Với \(m=\frac{3}{2}\) hệ (*) có hai nghiệm $A(1;2)$ và $B(2;1)$ thỏa mãn $AB=\(\sqrt{2}\)$.

- Với \(m=-\frac{1}{2}\) thì hệ (*) có hai nghiệm là $A(0;-1)$ và $B(-1;0)$ thỏa mãn $AB=\(\sqrt{2}\)$.

Kết luận \(m=\frac{3}{2}\) hoặc \(m=-\frac{1}{2}\).

Câu 13.

Phương trình \(\dfrac{x+1}{|x-2|}=m\) có hai nghiệm phân biệt khi

  1. \(m>1\).
  2. \(m< -1\).
  3. \(m\geq 1\).
  4. \(m\leq -1\).

Hướng dẫn giải:

Đặt \(f\left(x\right)=\frac{x+1}{x-2}\) và \(g\left(x\right)=\frac{x+1}{\left|x-2\right|}\) thì ta có: \(g\left(x\right)=\begin{cases}f\left(x\right);x\ge2\\-f\left(x\right);x< 2\end{cases}\)

Phương trình đã cho trở thành: \(g\left(x\right)=m\)   

Trước hết ta vẽ đồ thị hàm f(x), g(x).

Ta có:

- Miền xác định của f(x) và g(x) là \(D=R\backslash\left\{2\right\}\)

- Đạo hàm cùa:  \(f'\left(x\right)=\frac{-3}{\left(x-2\right)^2}< 0\) => Hàm f nghịch biến trên các khoảng xác định.

- Tiệm cận đứng của f(x):  $x = 2$

- Tiệm cận ngang: 

Ta có: \(f\left(x\right)=\frac{x+1}{x-2}=\frac{x-2+3}{x-2}=1+\frac{3}{x-2}\) vậy tiệm cận ngang của f(x) là $y = 1$

- Bảng biến thiên

x f' f 2 > >

- Đồ thị hàm f(x) như sau:

   Đồ thị đi qua các điểm sau \(A\left(-1;0\right)\) ; \(B\left(0;-\frac{1}{2}\right)\)\(C\left(3;4\right)\)\(D\left(4;\frac{5}{2}\right)\)

Đồ thị hàm f(x) là đường nét đứt trong hình sau:

Sau khi có đồ thị f(x) ta suy ra đồ thị g(x) như sau:

Vì \(g\left(x\right)=\begin{cases}f\left(x\right);x\ge2\\-f\left(x\right);x< 2\end{cases}\) nên với \(x\ge2\) đồ thị g(x) trùng với f(x); với x < 2 thì g(x) là ảnh của f(x) qua phép đối xứng qua trục hoành.

Vậy đồ thị của g(x) là đường nét liền trong hình trên.

Để phương trình g(x) = m có hai nghiệm thì m > 1.

Click để xem thêm, còn nhiều lắm!

Tính năng này đang được xây dựng...