Để phương trình \(2|x|^3-9x^2+12|x|=m\) có 6 nghiệm phân biệt thì
\(\text{4< m< 5}\). \(m<4\). \(m>5\). \(m< 4\) hoặc \(m>5\). Hướng dẫn giải:Trước hết ta khảo sát và sẽ đồ thì hàm số \( y=f(x)=2x^3-9x^2+12x\)
Ta có: \(y'=6x^2-18x+12 = 6(x^2-3x+2) = 6(x-1)(x-2)\)
\(y'\) có hai nghiệm là 1 và 2, ta có bảng biến thiên của hàm \(y=f\left(x\right)\) như sau:
Đồ thị hàm số \(y=f\left(x\right)\) được vẽ như sau:
Sau đó ta vẽ đồ thị hàm số \(y=g(x)=2|x|^3-9x^2+12|x| = f(|x|)\) Ta có:
\(g\left(x\right)=\begin{cases}f\left(x\right);x\ge0\\f\left(-x\right);x\le0\end{cases}\)
Vậy đồ thị hàm \(y=g\left(x\right)\) có 2 phần: phần ứng với \(x\ge0 \) sẽ trùng với đồ thị hàm \(y=f\left(x\right)\) và phần ứng với \(x<0\) là phần đối xứng của đồ thị \(y=f\left(x\right)\) qua trục tung.
Nhìn vào đồ thị ta thấy, để phương trình \(2|x|^3-9x^2+12|x|=m\) có 6 nghiệm phân biệt thì đường thẳng \(y=m\) phải cắt đồ thị \(y=g\left(x\right)\) tại 6 điểm phân biệt. Khi đó 4 < m < 5.