Bài 4. ÔN TẬP CHƯƠNG II

Câu hỏi trắc nghiệm

Chủ đề: Bài 4. ÔN TẬP CHƯƠNG II

Câu 19.

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

  1. Nếu tam giác ABC thỏa mãn điều kiện \(\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right|\) thì ABC là tam giác vuông.
  2. Nếu tam giác ABC thỏa mãn điều kiện vecto  \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\)  vuông góc với vecto \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}\) thì ABC là tam giác cân.
  3. Nếu tam giác ABC có độ dài 3 cạnh là 5; 7; 8 thì ABC là tam giác có một góc bằng \(60^0\)
  4. Nếu tam giác ABC có độ dài 3 cạnh là a = 21; b = 17; c = 10 thì trung tuyến kẻ từ đỉnh A có độ dài bằng 9.

Hướng dẫn giải:

​a) \(\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right|\Leftrightarrow\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|^2=\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right|^2\)

\(\Leftrightarrow\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)^2=\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right)^2\Leftrightarrow2\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=-2\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\Leftrightarrow\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0\)

\(\Leftrightarrow\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{AC}\Leftrightarrow A=90^0\)

b) vecto  \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\)  vuông góc với vecto \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}\)  khi và chỉ khi  \(\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}\right)=0\Leftrightarrow\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right)=0\Leftrightarrow\overrightarrow{AB}^2-\overrightarrow{AC}^2=0\Leftrightarrow AB^2-AC^2=0\)

\(\Leftrightarrow AB^2-AC^2=0\Leftrightarrow AB=AC\Leftrightarrow ABC\)là tam giác cân ở A.

c) Theo hệ quả định lí côsin ta có  

           \(\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\dfrac{5^2+8^2-7^2}{2.5.8}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow A=60^0\)

Khẳng định sai là " Nếu tam giác ABC có độ dài 3 cạnh là a = 21; b = 17; c = 10 thì trung tuyến kẻ từ đỉnh A có độ dài bằng 9".

Thật vậy, áp dụng công thức tính trung tuyến  \(m_a^2=\dfrac{2\left(b^2+c^2\right)-a^2}{4}\) ta có

                            \(m_a^2=\dfrac{2\left(17^2+10^2\right)-21^2}{4}=\dfrac{337}{4}\ne9^2\)

Câu 23.

Cho 3 điểm  A(1;2), B(-3;1), \(C\left(-\dfrac{15}{7};\dfrac{25}{7}\right)\) . Chứng minh rằng A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác. Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác.

  1. \(H\left(2;3\right)\)
  2. \(H\left(-2;3\right)\)
  3. \(C\left(-3;5\right)\)
  4. \(C\left(\dfrac{-2}{7};\dfrac{3}{7}\right)\)

Hướng dẫn giải:

Từ giả thiết suy ra \(\overrightarrow{BC}=\left(\dfrac{6}{7};\dfrac{18}{7}\right)=\dfrac{6}{7}\left(1;3\right),\overrightarrow{AC}=\left(-\dfrac{22}{7};\dfrac{11}{7}\right)=-\dfrac{11}{7}\left(2;-1\right)\). Hai vecto \(\overrightarrow{u}\left(1;3\right),\overrightarrow{v}\left(2;-1\right)\) không cùng phương suy ra \(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AC}\) không cùng phương, do đó A, B, C không thẳng hàng và là 3 đỉnh của một tam giác.

Gọi \(H\left(x;y\right)\) thì \(\overrightarrow{AH}=\left(x-1;y-2\right)\left(-3;1\right),\overrightarrow{BH}=\left(x+3;y-1\right)\)

Từ giả thiết H là trực tâm ABC suy ra

               \(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=0\\\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{AC}=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x-1\right).\dfrac{6}{7}+\left(y-2\right).\dfrac{18}{7}=0\\\left(x+3\right).\left(-\dfrac{22}{7}\right)+\left(y-1\right).\dfrac{11}{7}=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+3y=7\\-2x+y=7\end{matrix}\right.\)

Giải hệ trên ta được   \(x=-2;y=3\)

Đáp số:  \(H\left(-2;3\right)\)

Câu 27.

Cho tam giác ABC. Biết rằng các vecto \(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}\) có tọa độ là  \(\overrightarrow{CA}\left(a_1;a_2\right),\overrightarrow{CB}\left(b_1;b_2\right)\). Kí hiệu \(S\) là diện tích tam giác \(CAB\). Khẳng định nào sau đây đúng?

  1. \(S=\dfrac{1}{2}\left|a_1a_2-b_1b_2\right|\)
  2. \(S=\dfrac{1}{2}\left(a_1b_2-a_2b_1\right)\)
  3. \(S=\dfrac{1}{2}\left(a_1b_2+a_2b_1\right)\)
  4. \(S=\dfrac{1}{2}\left|a_1b_2-a_2b_1\right|\)

Hướng dẫn giải:

Ta có   \(S=\dfrac{1}{2}CA.CB.\sin C=\dfrac{1}{2}CA.CB.\sqrt{1-\cos^2C}\) và   ​\(\cos C=\dfrac{\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}}{CA.CB}=\dfrac{a_1b_1+a_2b_2}{CA.CB}\) nên

                       \(S=\dfrac{1}{2}CA.CB.\sqrt{1-\left(\dfrac{a_1b_1+a_2b_2}{CA.CB}\right)^2}\)\(=\dfrac{1}{2}CA.CB.\dfrac{\sqrt{CA^2CB^2-\left(a_1b_1+a_2b_2\right)^2}}{CA.CB}\)

                            \(=\dfrac{1}{2}\sqrt{\left(a_1^2+a_2^2\right)\left(b_1^2+b_2^2\right)-\left(a_1b_1+a_2b_2\right)^2}=\dfrac{1}{2}\sqrt{\left(a_1b_2-a_2b_1\right)^2}\)

                      \(S=\dfrac{1}{2}\left|a_1b_2-a_2b_1\right|\)

Cách khác: Thử trường hợp   \(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{i}=\left(1;0\right),\overrightarrow{OB}=-\overrightarrow{j}=\left(0;-1\right)\)  thì \(a_1=1;a_2=0;b_1=0;b_2=-1\)thì tam giác OAB vuông cân tại O với hai cạnh góc vuông bằng 1 nên có \(S=\dfrac{1}{2}\) trong khi đó

                                 \(S=\dfrac{1}{2}\left|a_1a_2-b_1b_2\right|=\dfrac{1}{2}\left|0-0\right|=0\)

                                  \(S=\dfrac{1}{2}\left(a_1b_2-a_2b_1\right)=0\)

                                  \(S=\dfrac{1}{2}\left(a_1b_2+a_2b_1\right)=0\)

                                  \(S=\dfrac{1}{2}\left|a_1b_2-a_2b_1\right|=\dfrac{1}{2}\left|1.\left(-1\right)-0.0\right|=\dfrac{1}{2}\)

Vì vậy chỉ có \(S=\dfrac{1}{2}\left|a_1b_2-a_2b_1\right|\) là công thức đúng.


Tính năng này đang được xây dựng...