\(y'=\frac{3}{\left(x+1\right)^2}\)
a/ \(y'\left(1\right)=\frac{3}{4}\)
Phương trình tiếp tuyến:
\(y=\frac{3}{4}\left(x-1\right)-\frac{1}{2}\) (bạn tự rút gọn)
b/ Tiếp tuyến song song với \(y=3x+1\Rightarrow\) có hệ số góc \(k=3\)
\(\Rightarrow\frac{3}{\left(x_0+1\right)^2}=3\Rightarrow\left(x_0+1\right)^2=1\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x_0=0\Rightarrow y_0=-2\\x_0=-2\Rightarrow y_0=4\end{matrix}\right.\)
Có 2 tiếp tuyến: \(\left[{}\begin{matrix}y=3\left(x-0\right)-2\\y=3\left(x+2\right)+4\end{matrix}\right.\)
c/ Tiếp tuyến vuông góc với \(y=-\frac{1}{12}x-4\Rightarrow\) có hệ số góc \(k=12\)
\(\Rightarrow\frac{3}{\left(x_0+1\right)^2}=12\Rightarrow\left(x_0+1\right)^2=\frac{1}{4}\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x_0=-\frac{1}{2}\Rightarrow y_0=-5\\x_0=-\frac{3}{2}\Rightarrow y_0=7\end{matrix}\right.\)
Có 2 tiếp tuyến thỏa mãn: \(\left[{}\begin{matrix}y=12\left(x+\frac{1}{2}\right)-5\\y=12\left(x+\frac{3}{2}\right)+7\end{matrix}\right.\)
d/ Giao điểm với trục tung
\(\Rightarrow x_0=0\Rightarrow y_0=-2\)
\(y'\left(0\right)=3\)
Phương trình tiếp tuyến: \(y=3x-2\)
e/ Giao điểm với trục hoành:
\(y_0=0\Rightarrow\frac{x_0-2}{x_0+1}=0\Rightarrow x_0=2\)
\(\Rightarrow y'\left(2\right)=\frac{1}{3}\)
Phương trình tiếp tuyến: \(y=\frac{1}{3}\left(x-2\right)\)
f/ Phương trình hoành độ giao điểm:
\(\frac{x-2}{x+1}=x-2\Leftrightarrow x-2=\left(x-2\right)\left(x+1\right)\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=0\end{matrix}\right.\)
- Với \(x_0=2\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y_0=0\\y'\left(2\right)=\frac{1}{3}\end{matrix}\right.\)
Tiếp tuyến: \(y=\frac{1}{3}\left(x-2\right)\)
- Với \(x_0=0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y_0=-2\\y'\left(0\right)=3\end{matrix}\right.\)
Tiếp tuyến: \(y=3x-2\)
