Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(a\sqrt{b^3+1}=a\sqrt{(b+1)(b^2-b+1)}\leq a.\frac{b+1+b^2-b+1}{2}=\frac{ab^2+2a}{2}\)
\(b\sqrt{c^3+1}\leq \frac{bc^2+2b}{2}; c\sqrt{a^3+1}\leq \frac{ca^2+2c}{2}\)
Cộng theo vế:
\(P\leq \frac{ab^2+bc^2+ca^2+2(a+b+c)}{2}=\frac{ab^2+bc^2+ca^2}{2}+3\)
Mà $ab^2+bc^2+ca^2\leq 4$ (đã CM tại đây)
Câu hỏi của trần trác tuyền - Toán lớp 9 | Học trực tuyến
Do đó $P\leq \frac{4}{2}+3=5$
Vậy $P_{\max}=5$
cho a,b,c≥0 và a+b+c=3. tìm GTLN và GTNN của biểu thức \(K=\sqrt{3a+1}+\sqrt{3b+1}+\sqrt{3c+1}\)
Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn abc=1 . Tìm GTLN của biểu thức :
\(T=\frac{1}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+1}+\frac{1}{\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}+1}+\frac{1}{\sqrt[3]{c}+\sqrt[3]{a}+1}\)
cho a,b,c dương thỏa mãn \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=3\). tìm GTLN của \(P=\dfrac{1}{\sqrt{a^2-ab+b^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{b^2-bc+c^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{c^2-ca+a^2}}\)
Cho 3 số a, b, c không âm thỏa mãn điều kiện a+b+c=2, chứng minh rằng: \(\dfrac{\sqrt{a}}{1+a}+\dfrac{\sqrt{b}}{1+a+b}+\dfrac{\sqrt{c}}{1+a+b+c}\le2\)
Cho các số thực không âm a. b. c thỏa mãn a + b + c = 3
TÌm GTLN của P = \(a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a}-\sqrt{abc}\)
cho a,b,c không âm thỏa mãn a+b+c=3. tìm GTNN của \(P=\sqrt{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{ab+bc+ca}{2}+\dfrac{1}{a^2+b^2++c^2}\)
\(\text{Cho }\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3\)
\(\text{Tìm GTLN của }P=\frac{1}{\sqrt{a^2-ab+b^2}}+\frac{1}{\sqrt{b^2-bc+c^2}}+\frac{1}{\sqrt{c^2-ca+a^2}}\)
Cho 3 số thực a,b,c dương và thỏa mãn: \(a^2+b^2+c^2=3\). Tìm GTNN của biểu thức: \(A=\dfrac{1}{\sqrt{1+8a^3}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+8b^3}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+8c^3}}\)
Ôn tập Bất đẳng thức
1 , Cho a,b,c<3 thỏa mãn abc(a+b+c)=3 . Tìm GTNN của C= \(\frac{a}{\sqrt{9-b^2}}+\frac{b}{\sqrt{9-c^2}}+\frac{c}{\sqrt{9-a^2}}\)
2, Cho a,b,c>0 thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=3\)
Chứng minh a, \(\frac{1}{4-\sqrt{ab}}+\frac{1}{4-\sqrt{bc}}+\frac{1}{4-\sqrt{ca}}\le1\)
b, \(\frac{2a^2}{a+b^2}+\frac{2b^2}{b+c^2}+\frac{2c^2}{c+a^2}\ge a+b+c\)
3, Cho a,b,c >0 và \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=1\)
Tính GTLN của P= \(\frac{1}{\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}}+\frac{1}{\sqrt{5b^2+2bc+2c^2}}+\frac{1}{\sqrt{5c^2+2ca+2a^2}}\)
4 , Cho a,b,c>0 và \(ab+bc+ca\ge a+b+c\)
Chứng minh \(\frac{a^2}{\sqrt{a^3+8}}+\frac{b^2}{\sqrt{b^3+8}}+\frac{c^2}{\sqrt{c^3+8}}\ge1\)
