Lời giải:
Giả sử \(b=\text{mid}(a,b,c)\Rightarrow (b-a)(b-c)\leq 0\)
\(\Leftrightarrow b^2+ac\leq bc+ba\)
\(\Rightarrow b^2a+a^2c\leq abc+a^2b\)
\(\Rightarrow ab^2+bc^2+ca^2\leq abc+a^2b+bc^2\)
Lại có, áp dụng BĐT AM-GM:
\(abc+a^2b+bc^2=b(ac+a^2+c^2)\leq b(2ac+a^2+c^2)=b(a+c)^2=\frac{1}{2}.2b(a+c)(a+c)\)
\(\leq \frac{1}{2}\left(\frac{2b+a+c+a+c}{3}\right)^3=\frac{1}{2}\left(\frac{2(a+b+c)}{3}\right)^3=4\)
Vậy $P_{\max}=4$ khi $(a,b,c)=(2,1,0)$ và hoán vị.
cho a,b,c là các số dương , thỏa a+b+c=1.Chứng minh ab2 + cb2 +ca2 +abc ≤4
Cho các số thực không âm a. b. c thỏa mãn a + b + c = 3
TÌm GTLN của P = \(a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a}-\sqrt{abc}\)
Cho a;b;c là các số thực không âm thỏa mãn: \(a^2+b^2+c^2=3\)
Tìm min và max của \(A=a^3+b^3+c^3\)
Cho a,b,c không âm thỏa mãn a+b+c=1. Tìm Min và Max của biểu thức:
\(T=\dfrac{a}{1+b+c}+\dfrac{b}{1+c+a}+\dfrac{c}{1+a+b}\)
cho a,b,c không âm thỏa mãn a+b+c=3. tìm GTNN của \(P=\sqrt{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{ab+bc+ca}{2}+\dfrac{1}{a^2+b^2++c^2}\)
cho a,b,c không âm thỏa mãn a+b+c=3. tìm GTNN của \(S=\left(a^2+2\right)\left(b^2+2\right)\left(c^2+2\right)\)
cho ba số thực không âm a,b,c thỏa mãn ab+ac+bc=1 .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=\(\dfrac{a^2+b^2+c^2+3}{a+b+c-abc}\)
cho a,b,c≥0 và a+b+c=3. tìm GTLN và GTNN của biểu thức \(K=\sqrt{3a+1}+\sqrt{3b+1}+\sqrt{3c+1}\)
cho a,b,c không âm thỏa mãn a + b + c = 2. Tìm GTNN của :
\(P=\sqrt{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{ab+bc+ca}{2}+\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}\)
cho a,b,c≥1 và ab+bc+ca=9. tìm GTLN và GTNN của P=a2+b2+c2
