Question

Cho 3 số thực a,b,c dương và thỏa mãn: \(a^2+b^2+c^2=3\). Tìm GTNN của biểu thức: \(A=\dfrac{1}{\sqrt{1+8a^3}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+8b^3}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+8c^3}}\)

Answer 1

Áp dụng BĐT Bunyakovsky, ta có:

\(a+b+c\le\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}=\sqrt{3.3}=3\)

Áp dụng BĐT Cauchy, ta có:

\(A=\sum{\dfrac{1}{\sqrt{1+8a^3}}}=\sum{\dfrac{1}{\sqrt{(2a+1)(4a^2-2a+1)}}} \\\ge\sum{\dfrac{1}{\dfrac{4a^2+2}{2}}}=\sum{\dfrac{1}{2a^2+1}} \)

Ta cần chứng minh: \(\dfrac{1}{2a^2+1}\ge\dfrac{-4}{9}a+\dfrac{7}{9} \\<=>\dfrac{8a^3-14a^2+4a+2}{9(2a^2+1)}\ge0 \\<=>\dfrac{2(a-1)^2(4a+1)}{9(2a^2+1)}\ge0 (luôn\ đúng\ với\ mọi\ a>0) \\->\sum{\dfrac{1}{2a^2+1}}\ge\dfrac{-4}{9}(a+b+c)+\dfrac{21}{9}\ge\dfrac{-4}{9}.3+\dfrac{21}{9}=1 \\->A\ge1 \)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1.

Vậy GTNN của A là 1 (khi a = b = c = 1).