Cho nửa đường tròn tâm O bán kính AB=2R. Trên nửa đường tròn lấy điểm C sao cho góc CBA=30°. Trên tia tiếp tuyến Bx của nửa đường tròn lấy điểm M sao cho BM=BC
a. Tam giác ABC là tam giác gì? Vì sao?
b. Chứng minh tam giác BMC đều
c. Chứng minh MC là tiếp tuyến của đường tròn tâm (O;R)
d. OM cắt nửa đường tròn tại D và cắt BC tại E. Tính diện tích tứ giác OBDC theo R
a, ΔABC có A ∈ (O), B ∈ (O), C ∈ (O)
Mà AB là đường kính của (O)
⇒ ΔABC nội tiếp (O) đường kính AB
⇒ ΔABC vuông tại C
b, Vì BM là tiếp tuyến của (O) tại B
⇒ AB ⊥ BM
⇒ ΔAMB vuông tại B
⇒ \(\widehat{ABM}=90^0\)
⇒ \(\widehat{ABC}+\widehat{CBM}=90^0\)
⇒ 300 + \(\widehat{CBM}\) = 900
⇒ \(\widehat{CBM}\) = 900 - 300
⇒ \(\widehat{CBM}\) = 600 (1)
Vì BM = BC (gt)
⇒ ΔBMC cân tại B (2)
Từ (1), (2) ⇒ ΔBMC đều (đpcm)
c, Vì B ∈ (O), C ∈ (O)
⇒ OB = OC = R
⇒ ΔBCO cân tại O
⇒ \(\widehat{OCB}=\widehat{OBC}=30^0\)
ΔBMC đều ⇒ \(\widehat{BCM}=60^0\)
Hơn thế, \(\widehat{OCM}=\widehat{OCB}+\widehat{BCM}\)
⇒ \(\widehat{OCM}=30^0+60^0\)
⇒ \(\widehat{OCM}=90^0\)
⇒ OC ⊥ CM
Mà OC = R
⇒ CM là tiếp tuyến của (O;R)
d, Bạn tự CM: Tứ giác OBDC là hình thoi
⇒ \(S_{OBDC}=\frac{OD.BC}{2}\) (3)
Ta có OD = R (4)
ΔABC vuông tại C
⇒ \(cos\widehat{ABC}=\frac{BC}{AB}\)
⇒ \(cos_{30^0}=\frac{BC}{2R}\)
⇒ BC = cos30o . 2R
⇒ BC = \(\frac{\sqrt{3}}{2}.2R\)
⇒ BC = \(\sqrt{3}\). R (5)
Từ (3), (4), (5) ⇒ \(S_{OBDC}=\frac{R.\sqrt{3}R}{2}\)
⇒ \(S_{OBDC}=\frac{R^2\sqrt{3}}{2}\)
