Lời giải:
Không mất tính tổng quát, giả sử \(x\geq y\geq z\)
\(2^x+2^y+2^z=1184\)
\(\Leftrightarrow 2^z(2^{x-z}+2^{y-z}+1)=1184=2^5.37(*)\)
+ Nếu $x=z=y$ thì \(2^{x-z}+2^{y-z}+1=3\); \(2^5.37\) không chứa 3 trong phân tích nên loại.
+ Nếu $y=z< x$:
\((*)\Leftrightarrow 2^z(2^{x-z}+2)=2^5.37\)
\(\Leftrightarrow 2^{z+1}(2^{x-z-1}+1)=2^5.37\)
$x-z-1=0$ thì \(2^{z+1}(2^0+1)= 2^{z+2}=2^5.37\) (vô lý). Do đó $x-z-1>0$. Khi đó $2^{x-z-1}+1$ là số lẻ
\(\Rightarrow 2^{x-z-1}+1=37\Rightarrow 2^{x-z-1}=36\vdots 3\) (vô lý)
+) Nếu $z< x=y$ :\((*)\Leftrightarrow 2^z(2.2^{x-z}+1)=2^5.37\)
$z< x$ nên $2.2^{x-z}+1$ lẻ. Do đó \(2.2^{x-z}+1=37\Rightarrow 2^{x-z+1}=36\vdots 3\) (vô lý)
.+) Nếu $x,y,z$ đôi một phân biệt. Khi đó 2^{x-z}+2^{y-z}+1$ lẻ nên suy ra \(\left\{\begin{matrix} 2^z=2^5\\ 2^{x-z}+2^{y-z}+1=37\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} z=5\\ 2^{x-z}+2^{y-z}=36\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow 2^{x-5}+2^{y-5}=36\)
\(\Leftrightarrow 2^{y-5}(2^{x-y}+1)=36=2^2.3^2\)
Vì $x\neq y$ nên $x-y\geq 1$ $\Rightarrow 2^{x-y}+1$ lẻ. Do đó \(\left\{\begin{matrix}\ 2^{y-5}=2^2\\ 2^{x-y}+1=3^2\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}\ y=7\\ 2^{x-y}=8=2^3\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix}\ y=7\\ x=10\end{matrix}\right.\)
Vậy $(x,y,z)=(10,7,5)$ và hoán vị do vai trò như nhau
