Bài 1: (2,5 điểm)
Cho hàm số y = -x2 – 2x + 3
a/ Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số
b/ Tìm toạ độ giao điểm của (P) và đường thẳng y = x – 1
Bài 2: (1,5 điểm)
Cho phương trình: mx2 – 3(m + 1)x + 5 = 0
a/ Giải phương trình khi m = 1
b/ Tìm m để phương trình có một nghiệm x = 2. Tìm nghiệm còn lại.
Bài 3: (2,0 điểm)
Trong mặt phẳng Oxy cho A(1;2), B(-2;6), C(9;8)
a) Chứng minh A, B, C là 3 đỉnh của tam giác. Tính chu vi, diện tích tam giác ABC.
b) Tìm tọa độ D sao cho hình thang ABCD có cạnh đáy BC = 2AD.
Bài 4: (1,0 điểm)
Cho a, b là các số dương. Chứng minh rằng: \(\dfrac{a}{\sqrt{b}}+\dfrac{b}{\sqrt{a}}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}\). Đẳng thức xảy ra khi nào?
Bài 5 (2,0 điểm):
a. Giải phương trình: \(\sqrt{2x-3}=x-3\)
b. Giải hệ phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+x\times y=5\\\left(x+y\right)\times x\times y=6\end{matrix}\right.\)
Bài 6 (1,0 điểm):
a. Cho tam giác ABC có trọng tâm G.Gọi M, N và P lần lượt là trung điểm của các đoạn AB, AC và BC. Tính AG theo hai vectơ AM và AN
b. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC, còn P là trọng tâm tam giác AND. Tính NP theo hai vectơ NA và ND.
Bài 5:
a) ĐK: \(x\geq \frac{3}{2}\)
Ta có: \(\sqrt{2x-3}=x-3\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq 3\\ 2x-3=(x-3)^2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq 3\\ 2x-3=x^2-6x+9\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq 3\\ x^2-8x+12=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq 3\\ (x-2)(x-6)=0\end{matrix}\right.\Rightarrow x=6\)
Thử lại thấy t/m. Vậy..........
b) Đặt \(x+y=a; xy=b\). HPT đã cho trở thành:
\( \left\{\begin{matrix}
a+b=5\\
ab=6\end{matrix}\right.\). Theo định lý Viete đảo thì $a,b$ là nghiệm của PT:
\(X^2-5X+6=0\)
\(\Rightarrow (a,b)=(2,3); (3,2)\)
Nếu \((a,b)=(2,3)\Leftrightarrow (x+y, xy)=(2,3)\)
Theo định lý Viete đảo thì \(x,y\) là nghiệm của pt: \(X^2-2X+3=0\) (dễ thấy pt này vô nghiệm nên loại)
Nếu \((a,b)=(3,2)\Leftrightarrow (x+y, xy)=(3,2)\)
Theo định lý Viete đảo thì $x,y$ là nghiệm của pt: \(X^2-3X+2=0\)
\(\Rightarrow (x,y)=(2,1); (1,2)\)
Vậy.........
Bài 4:
Áp dụng BĐT Cauchy (Cô-si/ AM-GM) cho các số dương ta có:
\(\frac{a}{\sqrt{b}}+\sqrt{b}\geq 2\sqrt{a}\)
\(\frac{b}{\sqrt{a}}+\sqrt{a}\geq 2\sqrt{b}\)
Cộng theo vế và rút gọn:
\(\Rightarrow \frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}\geq \sqrt{a}+\sqrt{b}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(\frac{a}{\sqrt{b}}=\sqrt{b}; \frac{b}{\sqrt{a}}=\sqrt{a}\Leftrightarrow a=b\)
Bài 6a:
Theo tính chất trọng tâm-trung tuyến ta có:
\(\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AP}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AP})\)
\(=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CP})\)
\(=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{CP})=\frac{1}{3}(2\overrightarrow{AM}+2\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{0})\)
\(=\frac{2}{3}(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN})\)
(\(\overrightarrow{BP}; \overrightarrow{CP}\) là 2 vector đối nhau nên tổng bằng vecto 0)
Bài 6b:
Theo tính chất đường trung tuyến, trọng tâm ta có:
\(\overrightarrow {NP}=\frac{2}{3}\overrightarrow{NM}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{NM}+\overrightarrow{NM})=\frac{1}{3}(\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{ND}+\overrightarrow{DM})\)
\(=\frac{1}{3}(\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{ND}+\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{DM})\)
\(=\frac{1}{3}(\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{ND}+\overrightarrow{0})=\frac{1}{3}(\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{ND})\)
(do \(\overrightarrow{MA}; \overrightarrow{MD}\) là 2 vector đối nhau nên tổng bằng vector $0$)
Bài 2:
a) Khi $m=1$ thì pt trở thành:
\(x^2-6x+5=0\)
\(\Leftrightarrow x^2-x-5x+5=0\Leftrightarrow x(x-1)-5(x-1)=0\)
\(\Leftrightarrow (x-1)(x-5)=0\)
\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} x=1\\ x=5\end{matrix}\right.\)
b)
Để pt có 1 nghiệm $x=2$ thì:
\(m.2^2-3(m+1).2+5=0\)
\(\Leftrightarrow -2m-1=0\Rightarrow m=-\frac{1}{2}\)
Thay vào pt ban đầu: \(-\frac{1}{2}x^2-\frac{3}{2}x+5=0\)
\(\Leftrightarrow -x^2-3x+10=0\)
\(\Leftrightarrow -x(x-2)-5(x-2)=0\)
\(\Leftrightarrow (-x-5)(x-2)=0\)
Do đó ngoài nghiệm $x=2$ thì nghiệm còn lại của pt là $x=-5$
