Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp

Bui Giang Anh

cmr \(8\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\left(a+b\right)^3+\left(b+c\right)^3+\left(c+a\right)^3\) với \(a,b,c>0\)

Akai Haruma
Akai Haruma Giáo viên 3 tháng 12 2017 lúc 0:26

Lời giải: Áp dụng BĐT AM-GM:

\(a^3+b^3+b^3\geq 3ab^2\)

\(a^3+a^3+b^3\geq 3a^2b\)

\(\Rightarrow 3(a^3+b^3)\geq 3ab(a+b)\)

\(\Leftrightarrow 4(a^3+b^3)\geq a^3+b^3+3ab(a+b)=(a+b)^3\)

Tương tự:

\(\left\{\begin{matrix} 4(b^3+c^3)\geq (b+c)^3\\ 4(c^3+a^3)\geq (c+a)^3\end{matrix}\right.\)

Cộng theo vế:

\(8(a^3+b^3+c^3)\geq (a+b)^3+(b+c)^3+(c+a)^3\)

Do đó ta có đpcm

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Loading...