a) Xét ΔAHB vuông tại H có HE là đường cao ứng với cạnh AB(gt)
nên \(AH^2=AE\cdot AB\)(định lí 1 về hệ thức lượng trong tam giác vuông)(1)
Xét ΔAHC vuông tại H có HF là đường cao ứng với cạnh AC(gt)
nên \(AF\cdot AC=AH^2\)(định lí 1 về hệ thức lượng trong tam giác vuông)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(AE\cdot AB=AF\cdot AC\)(đpcm)
b) Ta có: \(AE\cdot AB=AF\cdot AC\)(cmt)
\(\Rightarrow\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AB}\)
Xét ΔAEF vuông tại A và ΔACB vuông tại A có
\(\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AB}\)(cmt)
Do đó: ΔAEF∼ΔACB(c-g-c)
⇒\(\widehat{AEF}=\widehat{ACB}\)(3)
Xét ΔABC vuông tại A có AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC(gt)
nên \(AM=\frac{BC}{2}\)(định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)
mà \(CM=\frac{BC}{2}\)(M là trung điểm của BC)
nên AM=CM
Xét ΔAMC có AM=CM(cmt)
nên ΔAMC cân tại M(định nghĩa tam giác cân)
⇒\(\widehat{C}=\widehat{MAC}\)(hai góc ở đáy)(4)
Từ (3) và (4) suy ra \(\widehat{AEF}=\widehat{MAC}\)
Xét ΔAFE vuông tại A có \(\widehat{AFE}+\widehat{AEF}=90^0\)(hai góc nhọn phụ nhau)
mà \(\widehat{AEF}=\widehat{MAC}\)(cmt)
nên \(\widehat{AFE}+\widehat{MAC}=90^0\)
hay \(\widehat{AFI}+\widehat{IAF}=90^0\)
Xét ΔAIF có \(\widehat{AFI}+\widehat{IAF}=90^0\)(cmt)
nên ΔAIF vuông tại I(định lí đảo của tam giác vuông)
⇒IA⊥IF
hay AM⊥EF(đpcm)
