Question

Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC). Đường tròn tâm O đường kính BC cắt cạnh AC, AB lần lượt tại D và E. H là giao điểm của BD và CE. K là giao điểm của DE và AH. F là giao điểm của AH và BC. M là trung điểm của AH. Chứng minh rằng: MD2 = MK.MF.

mọi người giúp em với ạ !!

Answer 1

Ta có: \(\angle HFC+\angle HDC=90+90=180\Rightarrow\) HDCF nội tiếp

Tương tự \(\Rightarrow BEHF,BEDC\) nội tiếp

Ta có: \(\angle AEH + \angle ADH =90+90=180\Rightarrow \) AEHD nội tiếp đường tròn đường kính AH \(\Rightarrow \) M là tâm của (AEHD) \(\Rightarrow \angle MDH=\angle MHD= \angle DCF\) 

Lại có: \(\angle HDO=\angle HBO (\Delta DBO \) cân tại O)

mà \(\angle DBC+\angle DCB=90\Rightarrow \angle MDH+\angle HDO=90\Rightarrow\angle MDO=90\)

mà \(\angle MFO=90\Rightarrow \) MDFO nội tiếp

Tương tự \(\Rightarrow \angle MEO=90\Rightarrow\) MEFO nội tiếp \(\Rightarrow \) M,D,F,E,O cùng thuộc 1 đường tròn \(\Rightarrow\) MDFE nội tiếp \(\Rightarrow \angle MDK=\angle MFE\)

Ta có: \(\angle EFH=\angle EBH =\angle ECD=\angle HFD\Rightarrow \angle MDK=\angle MFD\)

Xét \(\Delta MDK\) và \(\Delta MFD\): Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle MDK=\angle MFD\\\angle FMDchung\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\Delta MDK\sim \Delta MFD (g-g)\Rightarrow \)\(\dfrac{MD}{MK}=\dfrac{MF}{MD}\)\(\Rightarrow\)\(MD^2=MK.MF\)

Answer 2