Ôn tập Tam giác

Xét ΔBDA và ΔBDC có

BA=BC

DA=DC

BD chung

Do đó: ΔBDA=ΔBDC

=>\(\widehat{ABD}=\widehat{CBD}\) và \(\widehat{ADB}=\widehat{CDB}\)

\(\widehat{ABD}=\widehat{CBD}\)

BD nằm giữa BA,BC

Do đó: BD là tia phân giác của góc ABC

\(\widehat{BDA}=\widehat{BDC}\)

mà \(\widehat{BDA}+\widehat{BDC}=180^0\)(hai góc kề bù)

nên \(\widehat{BDA}=\widehat{BDC}=\dfrac{180^0}{2}=90^0\)

=>BD\(\perp\)AC

a: Xét ΔOAD và ΔOCB có

OA=OC

\(\widehat{AOD}=\widehat{COB}\)

OD=OB

Do đó: ΔOAD=ΔOCB

=>AD=CB và \(\widehat{OAD}=\widehat{OCB}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên AD//BC

b: Xét ΔOAB và ΔOCD có

OA=OC

\(\widehat{AOB}=\widehat{COD}\)

OB=OD

Do đó: ΔOAB=ΔOCD

=>AB=CD

Xét ΔABC và ΔCDA có

AB=CD

BC=DA

AC chung

Do đó: ΔABC=ΔCDA

=>\(\widehat{ABC}=\widehat{CDA}\)

c: Xét ΔOBN và ΔODM có

OB=OD

\(\widehat{OBN}=\widehat{ODM}\)

BN=DM

Do đó: ΔOBN=ΔODM

=>\(\widehat{BON}=\widehat{DOM}\)

mà \(\widehat{DOM}+\widehat{BOM}=180^0\)

nên \(\widehat{BON}+\widehat{BOM}=180^0\)

=>\(\widehat{MON}=90^0\)

=>M,O,N thẳng hàng

d: Xét ΔOAE và ΔOCF có

OA=OC

\(\widehat{AOE}=\widehat{COF}\)

AE=CF\(\left(AE=\dfrac{AD}{2}=\dfrac{BC}{2}=CF\right)\)

Do đó: ΔOAE=ΔOCF

=>\(\widehat{AOE}=\widehat{COF}\)

mà \(\widehat{AOE}+\widehat{EOC}=180^0\)

nên \(\widehat{COF}+\widehat{COE}=180^0\)

=>\(\widehat{FOE}=180^0\)

=>F,O,E thẳng hàng

mà OE=OF

nên O là trung điểm của EF

a: Xét ΔCAM và ΔCED có

CA=CE
\(\widehat{ACM}=\widehat{ECD}\)

CM=CD

Do đó: ΔCAM=ΔCED

=>\(\widehat{CAM}=\widehat{CED}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên AM//DE

b: Xét ΔBAN và ΔBDE có

BA=BD

\(\widehat{ABN}=\widehat{DBE}\)

BN=BE

Do đó: ΔBAN=ΔBDE

=>\(\widehat{BAN}=\widehat{BDE}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên AN//DE

AM//DE

AN//DE

AM,AN có điểm chung là A

Do đó: M,A,N thẳng hàng

c: ΔBDE=ΔBAN

=>DE=AN

ΔCDE=ΔCMA

=>DE=AM

=>AN=AM

mà M,A,N thẳng hàng

nên A là trung điểm của MN

a:\(\widehat{DAC}=\widehat{DAB}+\widehat{BAC}=90^0+\widehat{BAC}\)

\(\widehat{BAE}=\widehat{BAC}+\widehat{CAE}=90^0+\widehat{BAC}\)

Do đó: \(\widehat{DAC}=\widehat{BAE}\)

Xét ΔDACvà ΔBAE có

AD=AB

\(\widehat{DAC}=\widehat{BAE}\)

AC=AE

Do đó: ΔDAC=ΔBAE

=>DC=BE

b: ΔDAC=ΔBAE

=>\(\widehat{ADC}=\widehat{ABE};\widehat{ACD}=\widehat{AEB}\)

\(\widehat{CEB}+\widehat{ECD}\)

\(=\widehat{CEB}+\widehat{ECA}+\widehat{DCA}\)

\(=\widehat{ECA}+\widehat{AEB}+\widehat{CEB}\)

\(=\widehat{ECA}+\widehat{AEC}=90^0\)

=>BE\(\perp\)CD

Xét ΔABD và ΔEBD có

BA=BE

\(\widehat{ABD}=\widehat{EBD}\)

BD chung

Do đó: ΔABD=ΔEBD

=>\(\widehat{BAD}=\widehat{BED}=90^0\)

=>DE\(\perp\)BC

Xét ΔABE vuông tại A và ΔDBE vuông tại D có

BE chung

góc ABE=góc DBE

Do đó: ΔABE=ΔDBE

a: Xét ΔMDB vuông tại D và ΔNEC vuông tại E có

BD=CE

góc DBM=góc ECN(=góc ACB)

Do đó; ΔMDB=ΔNEC

=>MD=NE

Xét tứ giác MDNE có

MD//NE

MD=NE

Do đó: MDNE là hình bình hành

=>MN cắt ED tại trung điểm của mỗi đường

=>I là trung điểm chung của MN và ED

b:

Kẻ AH vuông góc BC tại H

ΔABC cân tại A

mà AH là đường cao

nên AH là trung trực của BC

Gọi O là giao của AH với đường vuông góc với MN tại I

=>O nằm trên trung trực của BC

=>OB=OC

Xét ΔOMN có

OI vừa là đường cao, vừa là trung tuyến

=>ΔOMN cân tại O

=>OM=ON

Xét ΔOAB và ΔOAC có

OA chung

AB=AC

OB=OC

Do đó: ΔOAB=ΔOAC

=>góc OBA=góc OCA

Xét ΔOBM và ΔOCN có

OB=OC

BM=CN

OM=ON

Do đó: ΔOBM=ΔOCN

=>góc OBM=góc OCN

=>góc OCN=góc OCA=180/2=90 độ

=>OC vuông góc AC

=>O cố định

a: Xét ΔMAC và ΔMBD có

MA=MB

góc AMC=góc BMD

MC=MD

=>ΔMAC=ΔMBD

b: ΔMAC=ΔMBD

=>AC=BD

Xét ΔCBD có BC+BD>CD

=>AC+BC>CD

=>AC+BC>2CM