Ôn tập Đường tròn

a: góc ABO+góc ACO=180 độ

=>ABOC nội tiếp

b: Xét ΔIAN và ΔIBA có

góc IAN=góc IBA

góc AIN chung

=>ΔIAN đồng dạng với ΔIBA

=>IA^2=IN*IB

ΔPKN đồng dạng với ΔPMA

=>góc PKN=góc PMH

=>AKNM nội tiếp

mà góc ANH=góc AMH=90 độ

nên ANHM nội tiếp đường tròn đường kính AH

=>góc AKH=góc ANH

=>AK vuông góc KH

Kẻ đường kính AI' của (O)

=>I'K vuông góc AK

=>K,H,I' thẳng hàng

AC vuông góc CI' AB vuông góc BI'

=>CI'//BH và BI'//CH

=>BHCI' là hình bình hành

=>K,H,I thẳng hàng

a: Xét (O) có

BA,BE là tiếp tuyến

=>BA=BE

mà OA=OE

nên OB là trung trực của AE

=>OB vuông góc AE

=>BH*BO=BA^2

ΔABC vuông tại A có AD vuông góc BC

nên BD*BC=BA^2

=>BH*BO=BD*BC

b: BH*BO=BD/BC

=>BH/BC=BD/BO

=>góc BHD=góc BCO

=>góc DHO+góc DCO=180 độ

=>DHOC nội tiếp

a: góc OAK+góc OBK=90+90=180 độ

=>OAKB nội tiếp

Xét ΔKAC và ΔKDA có

góc KAC=góc KDA

góc AKC chung

=>ΔKAC đồng dạng với ΔKDA

=>KA^2=KC*KD

b: Xét (O) có

KA,KB là tiếp tuyến

=>KA=KB

=>OK là trung trực của AB

=>KM*KO=KA^2=KC*KD

=>KM/KD=KC/KO

=>ΔKMC đồng dạng với ΔKDO

=>góc KMC=góc KDO

a) a₁. Chứng minh \(BAOE\) là tứ giác nội tiếp.

Tứ giác \(BAOE:\left\{{}\begin{matrix}\hat{OEB}=90^o\left(\text{tiếp tuyến}\right)\\\hat{OAB}=90^o\left(gt\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\hat{OEB}+\hat{OAB}=90^o+90^o=180^o\Rightarrow BAOE\) là tứ giác nội tiếp (đpcm).

a₂. Chứng minh : \(BH.BO=BD.BC\).

Ta có : \(\hat{ADC}=90^o\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\(\Rightarrow AD\) là đường cao của \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\Rightarrow BD.BC=AB^2\left(1\right).\)

Mặt khác : \(\left\{{}\begin{matrix}OA=OE=R\left(gt\right)\\AB=BE\left(\text{tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau}\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow OB\) là đường trung trực của \(AE\Rightarrow\hat{AHB}=90^o\)

\(\Rightarrow AH\) là đường cao của \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\Rightarrow BH.BO=AB^2\left(2\right).\)

Từ \(\left(1\right),\left(2\right)\Rightarrow BH.BO=BD.BC\) (đpcm).

b) b₁. Chứng minh \(DHOC\) là tứ giác nội tiếp.

Tứ giác \(AHDB:\hat{AHB}=\hat{ADB}=90^o\left(cmt\right)\). Mà hai góc này có đỉnh kề nhau trong tứ giác và cùng nhìn cạnh \(AB\) nên đây là tứ giác nội tiếp \(\Rightarrow\hat{ABH}=\hat{ADH}.\)

Mà : \(\left\{{}\begin{matrix}\hat{ADH}+\hat{HDC}=90^o\left(=\hat{ADC}\left(cmt\right)\right)\\\hat{ABH}+\hat{HAB}=90^o\left(\text{hai góc phụ nhau}\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow\hat{HDC}=\hat{HAB}\left(3\right).\)

Mặt khác : \(\hat{AOB}=\hat{HAB}\left(\text{cùng phụ }\hat{ABH}\right)\left(4\right).\)

Từ \(\left(3\right),\left(4\right)\Rightarrow\hat{AOB}=\hat{HDC}\Rightarrow DHOC\) là tứ giác nội tiếp (dấu hiệu nhận biết) (đpcm).

b₂. Chứng minh : \(\hat{BHD}=\hat{OHC}\).

Do \(DHOC\) là tứ giác nội tiếp (cmt) \(\Rightarrow\hat{OCD}=\hat{BHD}\left(5\right)\) (cùng bù với \(\hat{OHD}\)) và \(\hat{OHC}=\hat{ODC}\left(6\right)\) (hai góc có đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh \(OC\)).

Mặt khác : \(OA=OD=R\Rightarrow\Delta OAD\) cân tại \(O\Rightarrow\hat{ODA}=\hat{OAD}.\)

Và : \(\left\{{}\begin{matrix}\hat{OAD}+\hat{OCD}=90^o\left(\text{hai góc phụ nhau}\right)\\\hat{ODA}+\hat{ODC}=90^o\left(=\hat{ADC}\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow\hat{OCD}=\hat{ODC}\left(7\right).\)

Từ \(\left(5\right),\left(6\right),\left(7\right)\Rightarrow\hat{BHD}=\hat{OHC}\) (đpcm).

c) Chưa nghĩ ra ạ:)

a: góc BOC=2*góc A=90 độ

=>OB^2+OC^2=BC^2

=>2*R^2=2^2=4

=>R=căn 2

\(S_{\left(O\right)}=R^2\cdot pi=2pi\left(cm^2\right)\)

b: \(S_{q\left(BOC\right)}=pi\cdot2\cdot\dfrac{90}{360}=\dfrac{1}{2}\cdot pi\left(cm^2\right)\)

\(S_{BOC}=\dfrac{1}{2}\cdot OB\cdot OC=\dfrac{1}{2}\cdot2=1\)

=>\(S_{viênphân}=\dfrac{1}{2}\cdot3.14-1=0.57\left(cm^2\right)\)

a: góc ABC=1/2*sđ cung AC=90 độ

góc ABD=1/2*180=90 độ

góc CBD=góc ABC+góc ABD=90+90=180 độ

=>C,B,D thẳng hàng

b: góc AFC=1/2*sđ cung AC=90 độ

=>CF vuông góc AD

góc AED=1/2*180=90 độ

=>DE vuông góc AC

góc CED=góc CFD=90 độ

=>CEFD nội tiếp

a: ΔOBC cân tại O

mà OM là trung tuyến

nên OM vuông góc BC

ΔOAC cân tại O

mà ON là trung tuyến

nên ON vuông góc AC

Vì góc OMC+góc ONC=180 độ

nên OMCN nội tiếp