Ôn tập cuối năm môn Đại số 11

1.

\(\lim\limits_{x\rightarrow-1}\dfrac{2x^2-x-3}{x^2-1}=\lim\limits_{x\rightarrow-1}\dfrac{\left(x+1\right)\left(2x-3\right)}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow-1}\dfrac{2x-3}{x-1}=\dfrac{5}{2}\)

2.

a. \(y'=6x^2-sinx-\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\)

b. \(y'=10\left(x^2-5\right)^9.\left(x^2-5\right)'=20x\left(x^2-5\right)^9\)

3.

\(y'=-2x\)

\(k=4\Rightarrow-2x=4\Rightarrow x=-2\Rightarrow y\left(-2\right)=-24\)

Phương trình tiếp tuyến:

\(y=4\left(x+2\right)-24\Leftrightarrow y=4x-16\)

a.

\(y'=\dfrac{\left(sinx+cosx\right)'}{2\sqrt{sinx+cosx}}=\dfrac{cosx-sinx}{2\sqrt{sinx+cosx}}\)

b.

\(y'=\dfrac{-4}{\left(x-1\right)^2}\)

Tiếp tuyến vuông góc với \(y=\dfrac{1}{4}x+5\) nên có hệ số góc thỏa mãn \(k.\left(\dfrac{1}{4}\right)=-1\Rightarrow k=-4\)

\(\Rightarrow\dfrac{-4}{\left(x-1\right)^2}=-4\Rightarrow\left(x-1\right)^2=1\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\Rightarrow y=-3\\x=2\Rightarrow y=5\end{matrix}\right.\)

Có 2 tiếp tuyến thỏa mãn: \(\left[{}\begin{matrix}y=-4x-3\\y=-4\left(x-2\right)+5\end{matrix}\right.\)

Tại lân cận của \(-3^-\) hay lân cận của \(x< -3\) ta có \(x^2+7x+12< 0\)

Do đó:

\(...=\lim\limits_{x\rightarrow-3^-}\dfrac{\sqrt{x^2+7}-4}{-\left(x^2+7x+12\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow-3^-}\dfrac{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}{-\left(x+3\right)\left(x+4\right)\left(\sqrt{x^2+7}+4\right)}\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow-3^-}\dfrac{x-3}{-\left(x+4\right)\left(\sqrt{x^2+7}+4\right)}=-\dfrac{3}{4}\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left(\sqrt{9x^2+2x}+3x+\sqrt[3]{27x^3+4x^2+5}-3x\right)\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left(\dfrac{2x}{\sqrt{9x^2+2x}-3x}+\dfrac{4x^2+5}{\sqrt[3]{\left(27x^3+4x^2+5\right)^2}+3x\sqrt[3]{27x^3+4x^2+5}+9x^2}\right)\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left(\dfrac{2}{-\sqrt{9+\dfrac{2}{x}}-3}+\dfrac{4+\dfrac{5}{x^2}}{\sqrt[3]{\left(27+\dfrac{4}{x}+\dfrac{5}{x^2}\right)^2}+3\sqrt[3]{27+\dfrac{4}{x}+\dfrac{5}{x^2}}+9}\right)\)

\(=\dfrac{2}{-3-3}+\dfrac{4}{9+9+9}=-\dfrac{5}{27}\)

Câu 1:

\(S=\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}+....+\frac{\sqrt{2}}{2^n}\)

\(2S=2\sqrt{2}+\sqrt{2}+...+\frac{\sqrt{2}}{2^{n-1}}\)

\(S=2S-S=2\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2^n}\)

\(\lim S=\lim (2\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2^n})=2\sqrt{2}\)

Đáp án C.

Câu 2:

\(\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{3-2x-5x^3}{x^3-1}=\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{\frac{3}{x^3}-\frac{2}{x^2}-5}{1-\frac{1}{x^3}}=\frac{-5}{1}=-5\)

Đáp án B.

Câu 3:

** Tứ diện $ABCD$ có $SA\perp (BCD)$???? Bạn coi lại đề!

Câu 24:

$SA\perp (ABC)\Rightarrow SA\perp BC(1)$

$AB\perp BC(2)$

$(1);(2)\Rightarrow (SAB)\perp BC$

Mà $BC\subset (SBC)\Rightarrow (SBC)\perp (SAB)$

Đáp án A.

Câu 25.

I) Đúng

II) Chưa đủ cơ sở. Phải là $OC\perp OA, OC\perp OB\Rightarrow OC\perp (OAB)$. Mà $AB\subset (OAB)$ nên $OC\perp AB$

III) Đúng

IV) Đúng. Do từ $AB\perp OC, AB\perp OH$ thì $AB\perp (OCH)$

Đáp án D.

Câu 26:

$y'=(m^2-1)x^2+2(m-1)x-2$

$\Rightarrow y'-2x-2=(m^2-1)x^2+2(m-2)x-4>0$

Nếu $m=1$ thì $y'-2x-2=-2x-4>0\Leftrightarrow x< -2$ (không thỏa đề)

Nếu $m=-1$ thì $y'-2x-2=-6x-4>0\Leftrightarrow x< \frac{-2}{3}$ (không thỏa mãn)

Nếu $m\neq \pm 1$, để $y'-2x-2>0$ với mọi $x\in\mathbb{R}$ thì:

\(\left\{\begin{matrix} m^2-1>0\\ \Delta'=(m-2)^2+2(m^2-1)<0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (m-1)(m+1)>0\\ 3m^2-4m+2<0\end{matrix}\right.\) (vô lý)

Vì $3m^2-4m+2=3(m-\frac{2}{3})^2+\frac{2}{3}>0$ với mọi $m$

Vậy không tồn tại $m$ thỏa đề.

Đáp án A.

Ta có: \(y'=3x^2-4x+4=3\left(x^2-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{4}{9}\right)+\dfrac{8}{3}=3\left(x-\dfrac{2}{3}\right)^2+\dfrac{8}{3}\ge\dfrac{8}{3}\forall x\in R\)

⇒ y'_min = 8/3 tại x₀ = 2/3

⇒ y₀ = -79/27

⇒ PTTT: \(y=\dfrac{8}{3}\left(x-\dfrac{2}{3}\right)-\dfrac{79}{27}\)